数据结构学习笔记之二叉树

一、树

树，是 n 个节点的有限集，或为空树（n=0），或为非空树。
对于任何一棵非空树：
1）有且仅有一个称之为根的节点；
2）除根节点外，其余节点可分为 m 个互不相交的有限集 T1，T2……Tm，其中每个集合本身又是一棵树，称为根的子树。
树的定义是递归的，树的数据结构也是递归的。作为一种逻辑结构和分层结构，具有如下特点：
1）根节点无前驱，根节点外的节点有且只有一个前驱；
2）树中所有结点可以有零个或多个后继。

1）祖先与子孙：对于树中的任何一个节点B，从根节点通往该节点B的路径上的所有经过节点都是其祖先，反过来，B 是该路径上任意节点的子孙。
2）双亲与孩子：树中某结点B，与其直接相连的前驱节点为B的双亲节点，而B的直接后继为其孩子节点。
3）兄弟节点：具有相同双亲节点的节点称为兄弟节点。
4）节点度与树的度：节点度，指节点的孩子数；而所有结点的节点度中最大值称为树的度。
5）分支节点与叶子节点：度大于 0 的节点称为分支节点，也称非终端节点；度为 0 的节点称为叶子节点，也叫终端节点。
6）节点的深度、高度和层次：节点的层次是从根开始定义的，根节点为第一层，由根节点往叶子节点依次增加，同一层节点非相同双亲的节点可称为堂兄弟。节点深度是从根节点开始自顶向下逐层累加，节点的高度是从叶子节点开始自底向上逐层累加的。树的高度或深度就是树中结点的最大层数。
7）有序树和无序树：树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换的，称该树是有序的，否则就是无序树。
8）路径和路径长度：树中两个节点之间的路径，由这两个节点之间所经过的节点序列构成，路径长度是指路径上所经过的边的个数。
9）森林：m 棵互补相交的树的集合。

树具有如下性质：
1）树中的节点数等于所有节点的度数加1
2）度为 m 的树中第 i 层上至多有 m^(i-1) 个节点（i>=1）
3）高度为 h 的 m 叉树至多有(m^h-1)/(m-1)个节点。
4）具有 n 个节点的 m 叉树的最小高度为 log_m(n(m-1)+1) 向上取整

1）总节点数 = n₀+n₁+n₂+……+n_m，n_i 表示度为 i 的节点的个数
2）总分支数 = 1n₁+2n₂+……+mn_m，度为 m 的节点引出 m 条分支
3）总结点数 = 总分支数 + 1。

Binary Tree 是 n 个节点所构成的集合，或为空树，或为非空树。任意非空树：
1）有且仅有一个根节点。
2）根节点以外的节点分为两个互不相交的子集 T₁和T₂，分别称为左子树和右子树，且左子树和右子树本身也是二叉树。
二叉树是有序树，不可随便调换左右子树的顺序。

区别有两个：
1）度为 2 的树，至少有 3个节点，而二叉树可以为空；
2）度为 2 的有序树的孩子的左右次序是相对另一个孩子而言的，若某结点只有一个孩子，则这个孩子无需分左右次序；而二叉树无论孩子数是1还是2，均需确定左右次序，即二叉树的节点顺序不是相对另一个节点而言的，而是确定的。

指高度为 h 的二叉树，含有 2^h - 1 个节点，也即每层都含有最多的节点。
对于满二叉树，若从根节点到叶子，从左向右，依次编号，即根节点为 1，根节点的左孩子为 2，根节点右孩子为 3，以此类推……则编号为 i 的节点，其双亲为 i/2 向下取整，左孩子为 2i，右孩子为 2i+1.