题目描述
Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.
时间复杂度为O(N²)的算法-动态规划
更简洁的做法，使用动态规划，这样可以把时间复杂度降到O(N²)，空间复杂度也为O(N²)。做法如下:
首先，写出动态转移方程。
Define P[ i, j ] ← true iff the substring Si … Sj is a palindrome, otherwise false.
P[ i, j ] ← ( P[ i+1, j-1 ] and Si = Sj ) ，显然，如果一个子串是回文串，并且如果从它的左右两侧分别向外扩展的一位也相等，那么这个子串就可以从左右两侧分别向外扩展一位。
其中的base case是
P[ i, i ] ← true
P[ i, i+1 ] ← ( Si = Si+1 )
然后，看一个例子。
假设有个字符串是adade，现在要找到其中的最长回文子串。使用上面的动态转移方程，有如下的过程:
按照红箭头->黄箭头->蓝箭头->绿箭头->橙箭头的顺序依次填入矩阵，通过这个矩阵记录从i到j是否是一个回文串。
实现代码：
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
int n = s.length();
int longestBegin = 0;
int maxLen = 1;
bool table[1000][1000] = {false}; //建立一个二维数组
for (int i = 0; i < n; i++) //
{
table[i][i] = true; //将对角线设为true；自己和自己比较
}
for (int i = 0; i < n-1; i++)
{
if (s[i] == s[i+1]) //两两比较；
{
table[i][i+1] = true; //前后相等设为true；
longestBegin = i;
maxLen = 2;
}
}
for (int len = 3; len <= n; len++) //依次取长度为3.4.5...直到n
{
for (int i = 0; i < n-len+1; i++)
{
int j = i+len-1; //i从0遍历到n-len;j从len-1遍历到n-1;间隔为len
if (s[i] == s[j] && table[i+1][j-1])//i为头，j为尾；
{
table[i][j] = true;
longestBegin = i; //记录开始位置；
maxLen = len;
}
}
}
return s.substr(longestBegin, maxLen);
}
};