算法导论 — 4.1 最大子数组问题

笔记

本节给出了分治法的一个例子。给定一个数组$A[1..n]$A[1..n]，找出一个元素和为最大的连续子数组$A[i..j]$A[i..j]，其中$1 ≤ i ≤ j ≤ n$1≤i≤j≤n，称这样的子数组为最大子数组。例如，下图所示数组中，第$8$8个元素到第$11$11个元素之间的子数组为最大子数组。
　　
　　求解最大子数组问题，最简单的方法是暴力检查所有的子数组，从中找出和为最大的子数组。对于一个有$n$n个元素的数组，一共有$C_n^2+C_n^1=n(n-1)/2+n=Θ(n^2)$Cn2​+Cn1​=n(n−1)/2+n=Θ(n2)个子数组。参考练习4.1-2可知，计算每个子数组的和只需要$O(1)$O(1)时间。因此暴力求解法的所花费的时间为$Θ(n^2)$Θ(n2)。
　　除了暴力求解法，最大子数组问题还可以使用分治法求解，并且分治法具有更优的时间复杂度。假定要寻找子数组$A[low..high]$A[low..high]的最大子数组，我们从中央位置$mid=⌊(low+high)/2⌋$mid=⌊(low+high)/2⌋将$A[low..high]$A[low..high]划分为两个子数组，$A[low..mid]$A[low..mid]和$A[mid+1..high]$A[mid+1..high]。于是，$A[low..high]$A[low..high]的任何一个子数组$A[i..j]$A[i..j]必然是以下三种情况之一：
　　• 完全位于子数组$A[low..mid]$A[low..mid]中，即$low ≤ i ≤ j ≤ mid$low≤i≤j≤mid。
　　• 完全位于子数组$A[mid+1..high]$A[mid+1..high]中，即$mid < i ≤ j ≤ high$mid<i≤j≤high。
　　• 跨越了中央位置$mid$mid，即$low ≤ i ≤ mid < j ≤ high$low≤i≤mid<j≤high。
　　根据以上分析，可以递归求解最大子数组问题。对于一个子数组$A[low..high]$A[low..high]，首先寻找跨越中央位置的最大子数组，然后分别递归求解$A[low..mid]$A[low..mid]和$A[mid+1..high]$A[mid+1..high]的最大子数组，比较这三种情况的最大子数组，从中选出元素和最大者作为$A[low..high]$A[low..high]的最大子数组。
　　分治法的关键在于寻找跨越中央位置的最大子数组。对于一个子数组$A[low..high]$A[low..high]，任何跨越中央位置$mid$mid的子数组必然都由两个子数组$A[i..mid]$A[i..mid]和$A[mid+1..j]$A[mid+1..j]组成，其中$low ≤ i ≤ mid$low≤i≤mid并且$mid < j ≤ high$mid<j≤high。因此，我们只需要找出形如$A[i..mid]$A[i..mid]和A$[mid+1..j]$[mid+1..j]的最大子数组，然后将二者合并即可。下面给出寻找跨越中央位置的最大子数组的伪代码。
　　
　　接下来给出分治法求解最大数组问题的伪代码。
　　
　　要寻找数组$A[1..n]$A[1..n]的最大子数组，只需要调用FIND-MAXIMUM -SUBARRAY$(A, 1, n)$(A,1,n)即可。
　　下面分析分治法求解最大子数组问题的时间复杂度。对于长度为$n$n的数组，求解最大子数组的时间用$T(n)$T(n)表示。$T(n)$T(n)由三部分组成：
　　• 递归求解子数组$A[1..mid]$A[1..mid]的最大子数组的时间$T(n/2)$T(n/2)；
　　• 递归求解子数组$A[mid+1..n]$A[mid+1..n]的最大子数组的时间$T(n/2)$T(n/2)；
　　• 求解跨越中央位置的最大子数组的时间，这一时间为$Θ(n)$Θ(n)。
　　所以有递归式$T(n) = 2T(n/2) +Θ(n)$T(n)=2T(n/2)+Θ(n)。求解这个递归式，得到$T(n) = Θ(nlgn)$T(n)=Θ(nlgn)。

练习

4.1-1 当$A$A的所有元素均为负数时，FIND-MAXIMUM-SUBARRAY返回什么？
　　解
　　返回数值最大的那个负数，即绝对值最小的负数。
　　
4.1-2 对最大子数组问题，编写暴力求解方法的伪代码，其运行时间应该为$Θ(n^2)$Θ(n2)。
　　解
　　
　　
4.1-3 当你的计算机上实现最大子数组问题的暴力算法和递归算法。请指出多大的问题规模$n_0$n0​是性能交叉点——从此之后递归算法将击败暴力算法？然后，修改递归算法的基本情况——当问题规模小于$n_0$n0​时采用暴力算法。修改后，性能交叉点会改变吗？
　　略

4.1-4 假定修改最大子数组问题的定义，允许结果为空子数组，其和为$0$0。你应该如何修改现有算法，使它们能允许空子数组为最终结果？
　　解
　　先对整个数组遍历一遍，检查是否所有元素都为负数。如果所有元素都为负数，则算法输出空子数组。如果数组中存在正数，则调用FIND-MAXIMUM –SUBARRAY求解。

4.1-5 使用如下思想为最大子数组问题设计一个非递归的、线性时间的算法。从数组的左边界开始，由左至右处理，记录到目前为止已经处理过的最大子数组。若已知$A[1..j]$A[1..j]的最大子数组，基于如下性质将解扩展为$A[1..j+1]$A[1..j+1]的最大子数组：$A[1..j+1]$A[1..j+1]的最大子数组要么是$A[1..j]$A[1..j]的最大子数组，要么是某个形如$A[i..j+1]$A[i..j+1]的最大子数组$(1 ≤ i ≤ j+1)$(1≤i≤j+1)。在已知形如$A[i..j]$A[i..j]的最大子数组的情况下，可以在常数时间内找出形如$A[i..j+1]$A[i..j+1]的最大子数组。
　　解
　　与分治法不同，这是典型的增量法。本题的关键在于：在已知以$A[j]$A[j]结尾的最大子数组的情况下，找出以$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大子数组。假设以$A[j]$A[j]结尾的最大数组为$A[i..j] (1 ≤ i ≤ j)$A[i..j](1≤i≤j)。分两种情况：
　　(1) 如果$A[i..j]$A[i..j]各元素之和${\rm sum}\{A[i..j]\} > 0$sum{A[i..j]}>0，那么以$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大数组为$A[i..j+1]$A[i..j+1]。这一点可以用反证法来说明。假设以$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大数组为$A[k..j+1]$A[k..j+1]，其中$1 ≤ k ≤ j+1$1≤k≤j+1并且$k ≠ i$k​=i。又分两种情况讨论。
　　1) $1 ≤ k ≤ j$1≤k≤j：由于以$A[j]$A[j]结尾的最大子数组为$A[i..j]$A[i..j]，所以${\rm sum}\{A[k..j]\} ≤ {\rm sum}\{A[i..j]\}$sum{A[k..j]}≤sum{A[i..j]}，从而有${\rm sum}\{A[k..j+1]\} ≤ {\rm sum}\{A[i..j+1]\}$sum{A[k..j+1]}≤sum{A[i..j+1]}。如果${\rm sum}\{A[k..j+1]\} < {\rm sum}\{A[i..j+1]\}$sum{A[k..j+1]}<sum{A[i..j+1]}，那么$A[k..j+1]$A[k..j+1]肯定不是以$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大数组，这与假设矛盾。如果${\rm sum}\{A[k..j+1]\} = {\rm sum}\{A[i..j+1]\}$sum{A[k..j+1]}=sum{A[i..j+1]}，那么如果假设成立，即$A[k..j+1]$A[k..j+1]是以$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大数组，那么$A[i..j+1]$A[i..j+1]也同样是以$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大数组。
　　2) $k = j$k=j：此时假设的以$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大数组为$A[j+1]$A[j+1]本身。由于${\rm sum}\{A[i..j]\} > 0$sum{A[i..j]}>0，所以${\rm sum}\{A[i..j+1]\} > A[j+1]$sum{A[i..j+1]}>A[j+1]。这说明$A[j+1]$A[j+1]本身肯定也不是以$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大数组，这与假设矛盾。
　　(2) 如果$A[i..j]$A[i..j]各元素之和${\rm sum}\{A[i..j]\} ≤ 0$sum{A[i..j]}≤0，那么$A[j+1]$A[j+1]结尾的最大数组为$A[j+1]$A[j+1]本身。这一点同样可以用反证法来说明，这里就不赘述。
　　下面给出该算法的伪代码。
　　
　　对于一个包含$n$n个元素的数组，该算法一共包含$n$n次迭代，每次迭代花费$Θ(1)$Θ(1)时间。因此，该算法的运行时间为$Θ(n)$Θ(n)。
　　
　　本节代码链接：
　　https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter04/Section_4.1