决策树
决策树是一种自上而下，对样本数据进行树形分类的算法，既可以用于分类，又可以用于回归。决策树的构建过程也对应着对特征空间的划分：从根结点开始，计算该结点所有可能特征的信息增益（比）或基尼系数，选择信息增益（比）最大或基尼系数最小的特征作为结点的特征，由该特征的不同取值对训练数据进行分割，建立子结点；再对子结点递归地调用以上方法，构建决策树；直到所有特征的信息增益（比）或基尼系数很小或没有特征可以选择为止。最后每个子集都被分到叶结点上，即都有了明确的类，这就得到一个决策树。（每个内部结点表示一个特征，叶结点表示一个类。）
决策树学习通常包括3个步骤：特征选择、决策树的生成和决策树的剪枝。
决策树学习常用的算法有ID3、C4.5与CART。
ID3
1. 信息增益
ID3算法的核心是在决策树各个结点上应用信息增益准则选择特征，递归地构建决策树。相当于用极大似然法进行概率模型的选择。
熵度量了事物的不确定性，越不确定的事物，它的熵就越大。设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为：
其中n代表X的n种不同的离散取值，log为以2或者e为底的对数。
条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵H(Y|X)定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望
信息增益表示由于得知特征A的信息而使得对数据集D的分类的不确定性减少的程度。不同的特征往往具有不同的信息增益，信息增益大的特征具有更强的分类能力。应用信息增益准则选择特征时，给定训练数据集D和特征A，经验熵H(D)表示对数据集D进行分类的不确定性。而经验条件熵H(D|A)表示在特征A给定的条件下对数据集D进行分类的不确定性。特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差，即：
输入：训练数据集D和特征A；
输出：特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)
2. ID3算法
3. ID3算法的不足
- ID3不能处理连续特征，如：长度，密度
- ID3采用信息增益大的特征优先建立决策树的节点。但在相同条件下，取值比较多的特征比取值少的特征信息增益大。比如一个变量有2个值，各为1/2，另一个变量为3个值，各为1/3，其实他们都是完全不确定的变量，但是取3个值的比取2个值的信息增益大。
- ID3算法没有考虑缺失值的情况
- 没有考虑过拟合的问题
C4.5
1. C4.5算法的改进
ID3算法有四个主要的不足，一是不能处理连续特征，第二个就是用信息增益作为标准容易偏向于取值较多的特征，最后两个是缺失值处理的问题和过拟合问题。昆兰在C4.5算法中改进了上述4个问题。
对于第一个问题，不能处理连续特征， C4.5的思路是将连续的特征离散化。
对于这n-1个点，分别计算以该点作为二元分类点时的信息增益,选择信息增益最大的点，获得相应划分点。比如取到的增益最大的点为at,则小于at的值为类别1，大于at的值为类别2，这样我们就做到了连续特征的离散化。要注意的是，与离散属性不同的是，如果当前节点为连续属性，则该属性后面还可以参与子节点的产生选择过程。
对于第二个问题，信息增益作为标准容易偏向于取值较多的特征的问题，我们引入一个信息增益比的变量。
特征A对训练数据集D的信息增益比定义为其信息增益g(D,A)与训练数据集D的经验熵H(D)之比：
特征数越多的特征对应的特征熵越大，它作为分母，可以校正信息增益容易偏向于取值较多的特征的问题。
缺失值处理需要解决的是两个问题，一是如何在属性值缺失的情况下进行划分属性选择，二是给定划分属性，若样本在该属性上的值缺失，若何对样本进行划分？
- 对于某一个有缺失特征值的特征A，C4.5的思路是将数据分成两部分，对每个样本设置一个权重（初始可以都为1），然后划分数据，一部分是有特征值A的数据D1，另一部分是没有特征A的数据D2. 然后对于没有缺失特征A的数据集D1来和对应的A特征的各个特征值一起计算加权重后的信息增益比，最后乘上一个系数，这个系数是无特征A缺失的样本加权后所占加权总样本的比例。
- 对于第二个子问题，可以将缺失特征的样本同时划分入所有的子节点，不过将该样本的权重按各个子节点样本的数量比例来分配。比如缺失特征A的样本a之前权重为1，特征A有3个特征值A1,A2,A3。 3个特征值对应的无缺失A特征的样本个数为2,3,4.则a同时划分入A1，A2，A3。对应权重调节为2/9,3/9, 4/9。
对于第4个问题，C4.5引入了正则化系数进行初步的剪枝。具体方法这里不讨论。讲CART的时候会详细讨论剪枝的思路。
除了上面的4点，C4.5和ID的思路区别不大。
2. C4.5算法的不足
- 由于决策树算法非常容易过拟合，因此对于生成的决策树必须要进行剪枝。剪枝的算法有非常多，C4.5的剪枝方法有优化的空间。思路主要是两种，一种是预剪枝，即在生成决策树的时候就决定是否剪枝。另一个是后剪枝，即先生成决策树，再通过交叉验证来剪枝。
- C4.5生成的是多叉树，即一个父节点可以有多个节点。很多时候，在计算机中二叉树模型会比多叉树运算效率高。如果采用二叉树，可以提高效率。
- C4.5只能用于分类，如果能将决策树用于回归的话可以扩大它的使用范围。
- C4.5由于使用了熵模型，里面有大量的耗时的对数运算,如果是连续值还有大量的排序运算。
CART
1. CART分类树算法的最优特征选择方法
ID3算法使用信息增益来选择特征，信息增益大的优先选择。C4.5算法采用了信息增益比来选择特征，以减少信息增益容易选择特征值多的特征的问题。但是无论是ID3还是C4.5,都是基于信息论的熵模型的，这里面会涉及大量的对数运算。能不能简化模型同时也不至于完全丢失熵模型的优点呢？有！CART分类树算法使用基尼系数来代替信息增益比，基尼系数表示数据的不确定性，基尼指数值越大，样本集合的不确定性也就越大，这一点与熵相似。
下图为二分类中基尼系数和熵之半和分类误差率的关系：
从上图可以看出，基尼系数和熵之半的曲线非常接近，仅仅在45度角附近误差稍大。因此，基尼系数可以做为熵模型的一个近似替代。
2. CART分类树算法对于连续特征和离散特征处理的改进
对于CART分类树连续值的处理问题，其思想和C4.5是相同的，都是将连续的特征离散化。唯一的区别在于在选择划分点时的度量方式不同，C4.5使用的是信息增益比，则CART分类树使用的是基尼系数。
回忆下ID3或者C4.5，如果某个特征A被选取建立决策树节点，如果它有A1,A2,A3三种类别，我们会在决策树上一下建立一个三叉的节点。这样导致决策树是多叉树。但是CART分类树使用的方法不同，他采用的是不停的二分，还是这个例子，CART分类树会考虑把A分成{A1}和{A2,A3}, {A2}和{A1,A3}, {A3}和{A1,A2}三种情况，找到基尼系数最小的组合，比如{A2}和{A1,A3},然后建立二叉树节点，一个节点是A2对应的样本，另一个节点是{A1,A3}对应的节点。同时，由于这次没有把特征A的取值完全分开，后面我们还有机会在子节点继续选择到特征A来划分A1和A3。这和ID3或者C4.5不同，在ID3或者C4.5的一棵子树中，离散特征只会参与一次节点的建立。
3. CART分类树建立算法的具体流程
- 算法输入是训练集D，基尼系数的阈值，样本个数阈值。
- 输出是决策树T。
- 算法从根节点开始，用训练集递归的建立CART树。
- 对于当前节点的数据集为D，如果样本个数小于阈值或者没有特征，则返回决策子树，当前节点停止递归。
- 计算样本集D的基尼系数，如果基尼系数小于阈值，则返回决策树子树，当前节点停止递归。
- 计算当前节点现有的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数，对于离散值和连续值的处理方法和基尼系数的计算见第二节。缺失值的处理方法和上篇的C4.5算法里描述的相同。
- 在计算出来的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数中，选择基尼系数最小的特征A和对应的特征值a。根据这个最优特征和最优特征值，把数据集划分成两部分D1和D2，同时建立当前节点的左右节点，做节点的数据集D为D1，右节点的数据集D为D2.
- 对左右的子节点递归的调用1-4步，生成决策树。
对于生成的决策树做预测的时候，假如测试集里的样本A落到了某个叶子节点，而节点里有多个训练样本。则对于A的类别预测采用的是这个叶子节点里概率最大的类别。
4. CART回归树建立算法
回归树，分类树的区别在于样本输出，如果样本输出是离散值，那么这是一颗分类树。如果样本输出是连续值，那么这是一颗回归树。
CART回归树和CART分类树的建立算法大部分是类似的，所以只讨论CART回归树和CART分类树的建立算法不同的地方。
- 连续值的处理方法不同
- 决策树建立后做预测的方式不同。
5. CART树算法的剪枝
CACART树的剪枝算法可以概括为两步，第一步是从原始决策树生成各种剪枝效果的决策树，第二步是用交叉验证来检验剪枝后的预测能力，选择泛化预测能力最好的剪枝后的数作为最终的CART树。
CART树的交叉验证策略：可以计算出每个子树是否剪枝的阈值α，如果把所有的节点是否剪枝的值α都计算出来，然后分别针对不同的α所对应的剪枝后的最优子树做交叉验证。这样就可以选择一个最好的α，有了这个α，我们就可以用对应的最优子树作为最终结果。
6. CART算法小结
| 算法 | 支持模型 | 树结构 | 特征选择 | 连续值处理 | 缺失值处理 | 剪枝 |
| ID3 | 分类 | 多叉树 | 信息增益 | 不支持 | 不支持 | 不支持 |
| C4.5 | 分类 | 多叉树 | 信息增益比 | 支持 | 支持 | 支持 |
| CART | 分类，回归 | 二叉树 | 基尼系数，均方差 | 支持 | 支持 | 支持 |
CART算法的缺点：
1）无论是ID3, C4.5还是CART,在做特征选择的时候都是选择最优的一个特征来做分类决策，但是大多数，分类决策不应该是由某一个特征决定的，而是应该由一组特征决定的。这样决策得到的决策树更加准确。这个决策树叫做多变量决策树(multi-variate decision tree)。在选择最优特征的时候，多变量决策树不是选择某一个最优特征，而是选择最优的一个特征线性组合来做决策。这个算法的代表是OC1，这里不多介绍。
2）如果样本发生一点点的改动，就会导致树结构的剧烈改变。这个可以通过集成学习里面的随机森林之类的方法解决。
7. 决策树算法小结
决策树算法的优点：
- 简单直观，生成的决策树很直观。
- 基本不需要预处理，不需要提前归一化，处理缺失值。
- 使用决策树预测的代价是O(log2m)。 m为样本数。
- 既可以处理离散值也可以处理连续值。很多算法只是专注于离散值或者连续值。
- 可以处理多维度输出的分类问题。
- 相比于神经网络之类的黑盒分类模型，决策树在逻辑上可以得到很好的解释
- 可以交叉验证的剪枝来选择模型，从而提高泛化能力。
- 对于异常点的容错能力好，健壮性高。
决策树算法的缺点:
- 决策树算法非常容易过拟合，导致泛化能力不强。可以通过设置节点最少样本数量和限制决策树深度来改进。
- 决策树为非参数学习，对个别数据敏感，样本发生一点点的改动，就会导致树结构的剧烈改变。可通过集成学习之类的方法解决。
- 寻找最优的决策树是一个NP难的问题，一般是通过启发式方法，容易陷入局部最优。可以通过集成学习之类的方法来改善。
- 有些比较复杂的关系，决策树很难学习，比如异或。这个就没有办法了，一般这种关系可以换神经网络分类方法来解决。
- 如果某些特征的样本比例过大，生成决策树容易偏向于这些特征。这个可以通过调节样本权重来改善。