机器学习-线性回归

本文参考吴恩达机器学习课程第2章

线性回归公式:

$f(x)=\theta_0 + \theta_1x$f(x)=θ0​+θ1​x
代价公式(误差均值中的2用来抵消求导得来的2):
$J(\theta_0,\theta_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(f_{\theta}(x)^i - y^i)^2$J(θ0​,θ1​)=2m1​∑i=1m​(fθ​(x)i−yi)2

目标：代价最小化

这里演示单变量线性回归时:
令$\theta_0=0$θ0​=0, $f(x)=\theta_1x$f(x)=θ1​x
可对$J(\theta_1)$J(θ1​)求导,
$J^{'}(\theta_1)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\theta_1x^i - y^i)$J′(θ1​)=m1​∑i=1m​(θ1​xi−yi)
此时$J^{'}(\theta_1)=0$J′(θ1​)=0方可求出$\theta_1$θ1​

实际上，由于代价函数经常含有2个及以上参数，目前函数处于三维空间x, y, z分别为$\theta_0,\theta_1,J(\theta_0,\theta_1)$θ0​,θ1​,J(θ0​,θ1​)，无法直接求导获得最佳参数组合
所以我们实际上，是不断尝试$\theta_0,\theta_1$θ0​,θ1​不同的值，找到损失结果最小的那组$(\theta_0,\theta_1)$(θ0​,θ1​)。
我们如何找到合适的尝试方法来找到这组参数呢,目前使用

梯度下降法

算法特点:从不同的起始值开始，获得的局部最优解是不一样
为了方便，设 $\theta_0=0,\theta_1=0$θ0​=0,θ1​=0
$\alpha$α为学习率(不变)，$\frac{d}{d\theta_i}J(\theta_i)$dθi​d​J(θi​)为偏导数，参数更新公式:
$\theta_i:= \theta_i - \alpha\frac{d}{d\theta_i}J(\theta_0,\theta_1)$θi​:=θi​−αdθi​d​J(θ0​,θ1​)($i=0,1$i=0,1)

具体展开:
$\theta_0:=\theta_0-\alpha\frac{d}{d\theta_0}J(\theta_0,\theta_1)=\theta_0-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\theta_0 + \theta_1x^i-y^i)$θ0​:=θ0​−αdθ0​d​J(θ0​,θ1​)=θ0​−m1​∑i=1m​(θ0​+θ1​xi−yi)
$\theta_1:=\theta_1-\alpha\frac{d}{d\theta_1}J(\theta_0,\theta_1)=\theta_0-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\theta_0 + \theta_1x^i-y^i)*x^i$θ1​:=θ1​−αdθ1​d​J(θ0​,θ1​)=θ0​−m1​∑i=1m​(θ0​+θ1​xi−yi)∗xi

1. 导数项: 达到局部最优解时(图中某一处局部最低点时)，此时导数项为0，$\theta_i:= \theta_i - \alpha*0$θi​:=θi​−α∗0，参数不再更新,且随着$J(\theta)$J(θ)接近最低点，导数项也会越来越小，所以暂时学习率可不变。
2. 梯度下降可以用于更新任何可微(因为需要求导)的代价函数J,目前使用的梯度下降用到了$\sum_{i=1}{m}$∑i=1​m，意味着每下降一次遍历一整个数据集，也称batch梯度下降算法。