运动规划中C空间的理解

先上结论： 在构型空间（也就是C空间中），不管机器人的构型如何，有几个自由度，它在构型空间中都只是一个点！！！

1. Work-Space与C-Space的关系：

方向	操作	特点
C-Space => Work-Space	正运动学	满射
Work-Space => C-Space	逆运动学	多解、奇异点

既然机器人在构型空间中就是一个点，那么在C-space中设计的planning算法就不再是局限于某一机器人系统的planning算法，而是理论上可以扩展到任意机器人系统。

机器人类型	C-Space
平面机器人	特殊欧式群SE(2)：$(x,y,\theta)^T$(x,y,θ)T
无人机	特殊欧式群SE(3)：$(x,y,z,roll,pitch,yaw)^T$(x,y,z,roll,pitch,yaw)T
六轴机械臂	即关节空间：$(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4，\theta_5，\theta_6)^T$(θ1​,θ2​,θ3​,θ4​，θ5​，θ6​)T

2. 对于平面移动机器人来说： 它的构型空间是通过对障碍物进行膨胀小车的大小得到的，此消彼长，因此小车缩成了一个点。

3. 对于平面二连杆臂来说： 它的构型空间是$(\theta_1,\theta_2)^T$(θ1​,θ2​)T，即它的关节空间，对于二连杆来说也就是一个平面，它对应的拓扑平面是一个环，也就是下图中的(b)图

4. 障碍物到C-Space的转换

Work-space中的障碍物在C空间中一般都是超曲面，在C-space中应用规划废时，一般要把机械臂工作空间内的障碍物在C空间中用数学来描述。

障碍物B在robot的构型空间表示为：
$CO_{robot}(B)={x\in Cspace_{robot}|(robot)_x \cap B\neq0 }$COrobot​(B)=x∈Cspacerobot​∣(robot)x​∩B​=0
其中，$(robot)_x$(robot)x​表示robot与关节变量x的关系，当$x\in CO_{robot}(B)$x∈COrobot​(B)，则robot与障碍物B会发生干涉。

思路：

• step1：使用解析函数描述障碍物表面

• step2：使用机器人最大直径膨胀障碍物

• step3：将膨胀后的障碍物表面的点与机器人的位置关系表示为函数形式，用于碰撞检测

• step4：应用搜索算法，如RRT等

  其实使用RRT等采样算法时，完全可以随机撒多维点，然后使用正运动学来判断是否与障碍物发生干涉（注意，这里的正运动学是广义的，要判断每个连杆是否发生碰撞），此时障碍物是描述在Work-space的，这样就避免了障碍物到C-Space的转换！

推荐一本比较经典的运动规划书籍《Principles of Robot Motion - Theory, Algorithm and Implementation》

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