三分法求极值

what is 三分法

对于二分，相信你一定十分熟悉。就是在一个具有单调性序列上查找你所需要的数字。由于其单调性，你每一次在查找是就可以将规模缩小一半，大致就是：
1.假设这个数列单调递增
2.维护一个区间左端点$l$l，区间右端点r和中间点$mid$mid
3.如果$mid$mid比想要的值小，则左边肯定不可以，那么$l=mid$l=mid
2.如果$mid$mid比想要的值大，则右边肯定不可以，那么$r=mid$r=mid
因此大致就可以这么写：

while (l+1<r)
{
    int mid=l+r>>1;
    if (v<a[mid) r=mid;
    else l=mid;
}

不保证代码正确，但是具体思想就是这样。
三分也一样啊：
对于一段抛物线（极值的一边单调递增，极值的一边单调递减）我们就可以把它分成三段，根据其图像特性来求解。

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三分法求二次函数峰值

对于三分，我们用左端点$lmid$lmid和$rmid$rmid进行维护，将这个图像分成三段。并且图像区间的左右端点分别是$l&lt;r.$l<r.则我们可以选择这么考虑：（以二次函数$y=-5x^{2}+8x-1$y=−5x2+8x−1为例）
如图所示：

当$lmid$lmid处于$A$A点,$rmid$rmid处于$B$B点时：可将左端点$l$l缩到$lmid$lmid，右端点不变以保证极值存在。
当$lmid$lmid处于$A$A点,$rmid$rmid处于$C$C点时：照样可以将$l$l缩到$lmid$lmid。
同理，
当$lmid$lmid处于$C$C点,$rmid$rmid处于$D$D点时：可将右端点$r$r缩到$rmid$rmid，左端点不变以保证极值存在。
当$lmid$lmid处于$B$B点,$rmid$rmid处于$B$B点时：照样可以将$r$r缩到$rmid$rmid。
故得到结论：
$f(l)&lt;f(r)→l=lmid$f(l)<f(r)→l=lmid
$f(l)≥f(r)→r=rmid$f(l)≥f(r)→r=rmid
然后就进行简单的代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c;
inline double f(double x) {
	return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
	cin>>a>>b>>c;
	//形如y=ax^2+by+c的二次函数
	double l=-1e9,r=1e9;
	while (l+1e-9<r)
	{
		double lmid=l+(r-l)/3.0;
		//图像上位于1/3部分的靠左的mid值 
		double rmid=l+(r-l)/3.0*2.0;
		//图像上位于2/3部分的靠右的mid值
		if (f(lmid)<f(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
		//求单峰极值 
	} 
	cout<<"X="<<l<<'\n';
	cout<<"Y="<<f(l); 
} 

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二次函数求单谷谷值 & 高次函数应用

通过画图和分类讨论$a&lt;0$a<0的情况，不难得出：
$f(l)＞f(r)→l=lmid$f(l)＞f(r)→l=lmid
$f(l)≤f(r)→r=rmid$f(l)≤f(r)→r=rmid
代码实现只要if内反一下即可：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c;
inline double f(double x) {
	return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
	cin>>a>>b>>c;
	//形如y=ax^2+by+c的二次函数
	double l=-1e9,r=1e9;
	while (l+1e-9<r)
	{
		double lmid=l+(r-l)/3.0;
		//图像上位于1/3部分的靠左的mid值 
		double rmid=l+(r-l)/3.0*2.0;
		//图像上位于2/3部分的靠右的mid值
		if (f(lmid)>f(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
		//求单峰极值 
	} 
	cout<<"X="<<l<<'\n';
	cout<<"Y="<<f(l); 
} 

如果需要高次函数过其它图像，只要在f内稍作修改即可。