编译原理词法分析（三）

NFA与DFA的等价性

对于每一个NFA M都有一个DFA M^,使得L(M)=L(M^,)

等价性证明

思路：NFA与DFA的区别

	NFA	DFA
初始状态	不唯一	唯一
弧上标记	字(单字符字、ε)	字符
转换关系	非确定	确定

假定NFA M=<S, E, δ, So, F> ,我们对M的状态转换图进行以下改造:
1.解决初始状态唯一性
引进新的初态结点X和终态结点Y , X,Y∉S ,从X到S₀中任意状态结点连一条:箭弧，从F中任意状态结点连一条:箭弧到Y。
例子：
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2.将字变为字符
对M的状态转换图进一步施行替换,其中k是新引入的状态。逐步把这个图转变为每条弧只标记为Σ上的一个字符或ε ,最后得到一个NFA M’，显然L(M’)=L(M)

3.NFA确定化–子集法(解决:弧和转换关系)
设I是的状态集的一个子集, 定义的ε-闭包ε-closure(I)为:

若s∈I ,则s∈ε-closure(I) ;
若s∈I ,则从s出发经过任意条ε弧而能到达的任何状态s’都属于ε-closure(I)，即：
- ε-closure(I)=IU{s’ |从某个s∈I出发经过任意条ε弧能到达s’ }

设a是2中的一一个字符,定义：
I_a= ε-closure(J)
其中, J为I中的某个状态出发经过一条a弧而到达的状态集合。即：
I经过a弧所到达的状态一定在状态集I_a里。
编译原理词法分析（三）
（注意：Ø的I_a，I_b也要算，Ø的I_a，I_b也是空集）
按照上面的步骤将转换表画出：

图中:
I为{X}的闭包
J为I经过一条a或b的结点集合
I_a，I_b是J的闭包，J经过ε到达的结点集合，包括了自身。

把表看成状态转换矩阵，子集视为状态，其中：

初态是ε-closure({X})
终态是含有原终态Y的子集

状态转换矩阵：
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根据状态转换矩阵画状态图：

DFA化简

对于给定的DFA M ,寻找一个状态数比M少的DFAM’ ,使得L(M)=L(M’)
状态的等价性
- 假设s和t为M的两个状态,称s和t等价:如果从状态s出发能读出某个字a而停止于终态,那么同样,从t出发也能读出a而停止于终态;反之亦然。
两个状态不等价,则称它们是可区别的，即：
存在一个字a ,要么s读出a停止于终态而t读出a停止于非终态,要么t读出a停止于终态而s读出a停止于非终态。

基本思想

把M的状态集划分为一些不相交的子集,使得任何两个不同子集的状态是可区别的,而同一子集的任何两个状态是等价的。
最后,让每个子集选出一个代表,同时消去其他状态。

例子：
第一次划分：终态与非终态
I⁽¹⁾={0,1,2}; I⁽²⁾={3,4,5,6}
计算I_a即：集合I经过a所到达的状态
I⁽¹⁾_a={1，3} 0,2到1；1到3；在不同的子集，继续划分：
I⁽¹¹⁾={0，2}；I⁽¹²⁾=1； I⁽²⁾={3,4,5,6}
I⁽¹¹⁾_a={1}；I⁽¹¹⁾_b={2，4}；在不同的子集，继续划分：
I⁽¹¹¹⁾_a={0}；I⁽¹¹²⁾_b={2}；I⁽¹²⁾=1； I⁽²⁾={3,4,5,6}
I⁽²⁾_a={3,6} I⁽²⁾_b={4,5} 在同一的子集
我们用状态3来代表4, 5, 6，即：把所有由4，5, 6射出的弧都由3射出，所有射入4，5, 6的弧都射入状态3。如图：
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正规式与有限自动机的等价性

一个正规式r与一一个有限自动机M等价：L( r )=L(M)
FA->正规式，
- 对任何FA M ,都存在一一个正规式r ,使得L( r )= L(M)。
正规式-> FA
- 对任何正规式r，都存在一个FA M ,使得L(M)=L( r )。

NFA->正规式

对转换图概念拓广, 每条弧可用一个正规式作标记。
定理:对上任一NFA M，都存在一个Σ上的正规式r ,使得L®=L(M)。

假定NFA M=<S, Σ, δ, So, F> ,我们对M的状态转换图进行以下改造:
在M的转换图上加进两个状态X和Y，从X用ε弧连接到M的所有初态结点,从M的所有终态结点用ε弧连接到Y ,从而形成一个新的NFA ,记为M’,它只有一个初态X和一个终态Y，显然L(M)=L(M’)。如图：
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然后,反复使用下面的三条规则,逐步消去结点,直到只剩下X和Y为止。

最后，X到Y的弧上标记的正规式即为所构造的正规式r
显然L®= L(M’)= L(M)