第一篇
Gradient Boost Decision Tree:
GBDT是一个应用很广泛的算法，可以用来做分类、回归。在很多的数据上都有不错的效果。GBDT这个算法还有一些其他的名字，比如说MART(Multiple Additive Regression Tree)，GBRT(Gradient Boost Regression Tree)，Tree Net等，其实它们都是一个东西（参考自wikipedia – Gradient Boosting)，发明者是Friedman
Gradient Boost其实是一个框架，里面可以套入很多不同的算法，可以参考一下机器学习与数学(3)中的讲解。Boost是"提升"的意思，一般Boosting算法都是一个迭代的过程，每一次新的训练都是为了改进上一次的结果。
原始的Boost算法是在算法开始的时候，为每一个样本赋上一个权重值，初始的时候，大家都是一样重要的。在每一步训练中得到的模型，会使得数据点的估计有对有错，我们就在每一步结束后，增加分错的点的权重，减少分对的点的权重，这样使得某些点如果老是被分错，那么就会被“严重关注”，也就被赋上一个很高的权重。然后等进行了N次迭代（由用户指定），将会得到N个简单的分类器（basic learner），然后我们将它们组合起来（比如说可以对它们进行加权、或者让它们进行投票等），得到一个最终的模型。
而Gradient Boost与传统的Boost的区别是，每一次的计算是为了减少上一次的残差(residual)，而为了消除残差，我们可以在残差减少的梯度(Gradient)方向上建立一个新的模型。所以说，在Gradient Boost中，每个新的模型的简历是为了使得之前模型的残差往梯度方向减少，与传统Boost对正确、错误的样本进行加权有着很大的区别。
在分类问题中，有一个很重要的内容叫做Multi-Class Logistic，也就是多分类的Logistic问题，它适用于那些类别数>2的问题，并且在分类结果中，样本x不是一定只属于某一个类可以得到样本x分别属于多个类的概率（也可以说样本x的估计y符合某一个几何分布），这实际上是属于Generalized Linear Model中讨论的内容，这里就先不谈了，以后有机会再用一个专门的章节去做吧。这里就用一个结论：如果一个分类问题符合几何分布，那么就可以用Logistic变换来进行之后的运算。
假设对于一个样本x，它可能属于K个分类，其估计值分别为F1(x)…FK(x)，Logistic变换如下，logistic变换是一个平滑且将数据规范化（使得向量的长度为1）的过程，结果为属于类别k的概率pk(x)，
对于Logistic变换后的结果，损失函数为：
其中，yk为输入的样本数据的估计值，当一个样本x属于类别k时，yk = 1，否则yk = 0。
将Logistic变换的式子带入损失函数，并且对其求导，可以得到损失函数的梯度：
假设输入数据x可能属于5个分类（分别为1,2,3,4,5），训练数据中，x属于类别3，则y = (0, 0, 1, 0, 0)，假设模型估计得到的F(x) = (0, 0.3, 0.6, 0, 0)，则经过Logistic变换后的数据p(x) = (0.16,0.21,0.29,0.16,0.16)，y - p得到梯度g：(-0.16, -0.21, 0.71, -0.16, -0.16)。观察这里可以得到一个比较有意思的结论：
假设gk为样本当某一维（某一个分类）上的梯度:
gk>0时，越大表示其在这一维上的概率p(x)越应该提高，比如说上面的第三维的概率为0.29，就应该提高，属于应该往“正确的方向”前进
越小表示这个估计越“准确”
gk<0时，越小，负得越多表示在这一维上的概率应该降低，比如说第二维0.21就应该得到降低。属于应该朝着“错误的反方向”前进
越大，负得越少表示这个估计越“不错误 ”
总的来说，对于一个样本，最理想的梯度是越接近0的梯度。所以，我们要能够让函数的估计值能够使得梯度往反方向移动（>0的维度上，往负方向移动，<0的维度上，往正方向移动）最终使得梯度尽量=0），并且该算法在会严重关注那些梯度比较大的样本，跟Boost的意思类似。
得到梯度之后，就是如何让梯度减少了。这里是用的一个迭代+决策树的方法，当初始化的时候，随便给出一个估计函数F(x)（可以让F(x)是一个随机的值，也可以让F(x)=0），然后之后每迭代一步就根据当前每一个样本的梯度的情况，建立一棵决策树。就让函数往梯度的反方向前进，最终使得迭代N步后，梯度越小。
这里建立的决策树和普通的决策树不太一样，首先，这个决策树是一个叶子节点数J固定的，当生成了J个节点后，就不再生成新的节点了。
算法的流程如下:（参考自treeBoost论文）
0. 表示给定一个初始值
1. 表示建立M棵决策树（迭代M次）
2. 表示对函数估计值F(x)进行Logistic变换
3. 表示对于K个分类进行下面的操作（其实这个for循环也可以理解为向量的操作，每一个样本点xi都对应了K种可能的分类yi，所以yi, F(xi), p(xi)都是一个K维的向量，这样或许容易理解一点）
4. 表示求得残差减少的梯度方向
5. 表示根据每一个样本点x，与其残差减少的梯度方向，得到一棵由J个叶子节点组成的决策树
6. 为当决策树建立完成后，通过这个公式，可以得到每一个叶子节点的增益（这个增益在预测的时候用的）
每个增益的组成其实也是一个K维的向量，表示如果在决策树预测的过程中，如果某一个样本点掉入了这个叶子节点，则其对应的K个分类的值是多少。比如说，GBDT得到了三棵决策树，一个样本点在预测的时候，也会掉入3个叶子节点上，其增益分别为（假设为3分类的问题）：
(0.5, 0.8, 0.1), (0.2, 0.6, 0.3), (0.4, 0.3, 0.3)，那么这样最终得到的分类为第二个，因为选择分类2的决策树是最多的。
7. 的意思为，将当前得到的决策树与之前的那些决策树合并起来，作为新的一个模型(跟6中所举的例子差不多)
第二篇
在集成学习之Adaboost算法原理小结中，我们对Boosting家族的Adaboost算法做了总结，本文就对Boosting家族中另一个重要的算法梯度提升树(Gradient Boosting Decison Tree, 以下简称GBDT)做一个总结。GBDT有很多简称，有GBT（Gradient Boosting Tree）, GTB（Gradient Tree Boosting ）， GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)，其实都是指的同一种算法，本文统一简称GBDT。GBDT在BAT大厂中也有广泛的应用，假如要选择3个最重要的机器学习算法的话，个人认为GBDT应该占一席之地。
1. GBDT概述
GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。
在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是, 损失函数是, 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器，让本轮的损失损失最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。
GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释，假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。
从上面的例子看这个思想还是蛮简单的，但是有个问题是这个损失的拟合不好度量，损失函数各种各样，怎么找到一种通用的拟合方法呢？
2. GBDT的负梯度拟合
在上一节中，我们介绍了GBDT的基本思路，但是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为
利用,我们可以拟合一颗CART回归树，得到了第t颗回归树，其对应的叶节点区域。其中J为叶子节点的个数。
针对每一个叶子节点里的样本，我们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值如下：
这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下：
从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下：
通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法，这样无轮是分类问题还是回归问题，我们通过其损失函数的负梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。
3. GBDT回归算法
好了，有了上面的思路，下面我们总结下GBDT的回归算法。为什么没有加上分类算法一起？那是因为分类算法的输出是不连续的类别值，需要一些处理才能使用负梯度，我们在下一节讲。
输入是训练集样本， 最大迭代次数T, 损失函数L。
输出是强学习器f(x)
1) 初始化弱学习器
2) 对迭代轮数t=1,2,...T有：
a)对样本i=1,2，...m，计算负梯度
b)利用, 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为。其中J为回归树t的叶子节点的个数。
c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值
d) 更新强学习器
3) 得到强学习器f(x)的表达式
4. GBDT分类算法
这里我们再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，但是由于样本输出不是连续的值，而是离散的类别，导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。
为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法是用类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说，我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，我们又有二元分类和多元分类的区别。
4.1 二元GBDT分类算法
对于二元GBDT，如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：
其中。则此时的负梯度误差为
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。
4.2 多元GBDT分类算法
多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为：
其中如果样本输出类别为k，则。第k类的概率的表达式为：
集合上两式，我们可以计算出第轮的第个样本对应类别的负梯度误差为
观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本对应类别的真实概率和轮预测概率的差值。
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。
5. GBDT常用损失函数
这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。
对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:
a) 如果是指数损失函数，则损失函数表达式为
其负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合参见Adaboost原理篇。
b) 如果是对数损失函数，分为二元分类和多元分类两种，参见4.1节和4.2节。
对于回归算法，常用损失函数有如下4种:
a)均方差，这个是最常见的回归损失函数了
b)绝对损失，这个损失函数也很常见
对应负梯度误差为：
c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：
对应的负梯度误差为：
d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为
其中为分位数，需要我们在回归前指定。对应的负梯度误差为：
对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减少异常点对损失函数的影响。
6. GBDT的正则化
和Adaboost一样，我们也需要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。
第一种是和Adaboost类似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为,对于前面的弱学习器的迭代
如果我们加上了正则化项，则有
的取值范围为。对于同样的训练集学习效果，较小的意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。
第二种正则化的方式是通过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。如果取值为1，则全部样本都使用，等于没有使用子采样。如果取值小于1，则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。
使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样，程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程，最后形成新树，从而减少弱学习器难以并行迭代的弱点。
第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里我们已经讲过，这里就不重复了。
7. GBDT小结
GBDT终于讲完了，GDBT本身并不复杂，不过要吃透的话需要对集成学习的原理，决策树原理和各种损失函树有一定的了解。由于GBDT的卓越性能，只要是研究机器学习都应该掌握这个算法，包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。当然scikit-learn也可以。
最后总结下GBDT的优缺点。
GBDT主要的优点有：
1) 可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。
2) 在相对少的调参时间情况下，预测的准备率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。
3）使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。
GBDT的主要缺点有：
1)由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。
第三篇（举例说明GBDT学习过程）
网上流传了一个预测年龄的例子，例子举的很好，当时解释的过程没有结合GBDT的工作过程，这里我们改进一下：
训练集：（A, 14岁）、（B，16岁）、（C, 24岁）、（D, 26岁）；
训练数据的均值：20岁； （这个很重要，因为GBDT与i开始需要设置预测的均值，这样后面才会有残差！）
决策树的个数：2棵；
每个样本的特征有两个：购物金额是否小于1K；经常去百度提问还是回答；
开始GBDT学习了~
首先，输入初值20岁，根据第一个特征（具体选择哪些特征可以根据信息增益来计算选择），可以把4个样本分成两类，一类是购物金额<=1K，一类是>=1K的。假如这个时候我们就停止了第一棵树的学习，这时我们就可以统计一下每个叶子中包含哪些样本，这些样本的均值是多少，因为这个时候的均值就要作为所有被分到这个叶子的样本的预测值了。比如AB被分到左叶子，CD被分到右叶子，那么预测的结果就是：AB都是15岁，CD都是25岁。和他们的实际值一看，结果发现出现的残差，ABCD的残差分别是-1, 1, -1, 1。这个残差，我们要作为后面第二棵决策树的学习样本。
然后学习第二棵决策树，我们把第一棵的残差样本（A, -1岁）、（B，1岁）、（C, -1岁）、（D, 1岁）输入。此时我们选择的特征是经常去百度提问还是回答。这个时候我们又可以得到两部分，一部分是AC组成了左叶子，另一部分是BD组成的右叶子。那么，经过计算可知左叶子均值为-1，右叶子均值为1. 那么第二棵数的预测结果就是AC都是-1，BD都是1. 我们再来计算一下此时的残差，发现ABCD的残差都是0！停止学习~
这样，我们的两棵决策树就都学习好了。进入测试环节：
测试样本：请预测一个购物金额为3k，经常去百度问淘宝相关问题的女生的年龄~
我们提取2个特征：购物金额3k，经常去百度上面问问题；
第一棵树 —> 购物金额大于1k —> 右叶子，初步说明这个女生25岁
第二棵树 —> 经常去百度提问 —> 左叶子，说明这个女生的残差为-1；
叠加前面每棵树得到的结果：25-1=24岁，最终预测结果为24岁
参考：
http://blog.csdn.net/puqutogether/article/details/41957089
http://www.cnblogs.com/pinard/p/6140514.html
http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/03/07/random-forest-and-gbdt.html