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方向导数和梯度

Def 方向导数
假定 $\vec{l}$ 是 $\mathbb{R^3}$ （三维空间）中的一个向量， $f(x,y)$ 是定义在这个空间中的一个一阶偏导数连续的函数，则 $f(x,y)$ 沿着 $\vec{l}$ 上的方向导数定义为：
$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\frac{\partial f}{\partial x}*cos(\alpha_1)+\frac{\partial f}{\partial y}*cos(\alpha_2)$
其中 $cos(\alpha_i),i=1，2$ 是 $\vec{l}$ 方向；向量上的方向余弦
具体的含义如下图所示:

上面的向量| $\vec{OM}$ |可以看作定义中的 $\vec{l}$ ,并且还可以给出方向余弦的计算方法如下：
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| $\vec{OM}$ |= $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 所有的方向余弦都可以这样进行计算比如说有一个向量 $\vec{x}=(1,2,3)$ 他的方向余弦就是 $(\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}})$
由此可以开始定义梯度的概念

Def2 梯度
一个二元一阶偏导数连续的函数 $f(x,y)$ 的梯度定义为：
$\left[ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]$

对于方向导数有如下推导成立：
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可以看出若问到方向导数沿着某什么方向增加最快的时候那一定是沿着梯度的方向也就是沿着 $\left[ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]$ 增加最快，且大小是梯度的模：
$|\left[ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]|=\sqrt{\frac{\partial f}{\partial x}^2+\frac{\partial f}{\partial y}^2}$