埃尔米特曲线 Hermite Curve

Introduction

给定曲线的两个端点的位置矢量 （ $P(0)$P(0), $P(1)$P(1) ）和切线矢量（ $P'(0)$P′(0), $P'(1)$P′(1) ）来描述曲线：

Proof

设方程为：
$P(t) = at^{3} + bt^{2} + ct +d \tag{0}$P(t)=at3+bt2+ct+d(0)
则：
$P'(t) = 3at^{2} + 2bt + c \tag{1}$P′(t)=3at2+2bt+c(1)
则可得：
$\begin{cases} & P(0) = d \\ & P(1) = a + b + c + d \\ & P'(0) = c \\ & P(1) = 3a + 2b + c \end{cases} \tag{2}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​​P(0)=dP(1)=a+b+c+dP′(0)=cP(1)=3a+2b+c​(2)
令：
$h_{0} = P(0) \\ h_{1} = P(1) \\ h_{2} = P'(0) \\ h_{3} = P'(1) \tag{3}$h0​=P(0)h1​=P(1)h2​=P′(0)h3​=P′(1)(3)
则有：
$\left[ \begin{matrix} h_{0} \\ h_{1} \\ h_{2} \\ h_{3} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} \right] \tag{4}$⎣⎢⎢⎡​h0​h1​h2​h3​​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​0103​0102​0111​1100​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​abcd​⎦⎥⎥⎤​(4)
$\Rightarrow \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 2 & -2 & 0 & 1 \\ -3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} h_{0} \\ h_{1} \\ h_{2} \\ h_{3} \end{matrix} \right] \tag{5}$⇒⎣⎢⎢⎡​abcd​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​2−301​−2300​0−210​1−100​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​h0​h1​h2​h3​​⎦⎥⎥⎤​(5)
又：
$P(t) = \left[ \begin{matrix} a & b & c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t^{3} \\ t^{2} \\ t \\ 1 \end{matrix} \right] \tag{6}$P(t)=[a​b​c​d​]⎣⎢⎢⎡​t3t2t1​⎦⎥⎥⎤​(6)
则由 (4) (5) (6) 可得：
$P(t) = \left[ \begin{matrix} a & b & c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t^{3} \\ t^{2} \\ t \\ 1 \end{matrix} \right] \tag{7}$P(t)=[a​b​c​d​]⎣⎢⎢⎡​0001​1111​0010​3210​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​2−211​−33−2−1​0010​1000​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​t3t2t1​⎦⎥⎥⎤​(7)
其中，中间两个矩阵互为逆矩阵，乘积为单位矩阵。又由 (5) 可得：
$P(t) = \left[ \begin{matrix} h_{0} & h_{1} & h_{2} & h_{3} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t^{3} \\ t^{2} \\ t \\ 1 \end{matrix} \right] \tag{8}$P(t)=[h0​​h1​​h2​​h3​​]⎣⎢⎢⎡​2−211​−33−2−1​0010​1000​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​t3t2t1​⎦⎥⎥⎤​(8)
再令：
$\left[ \begin{matrix} H_{0}(t) \\ H_{1}(t) \\ H_{2}(t) \\ H_{3}(t) \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t^{3} \\ t^{2} \\ t \\ 1 \end{matrix} \right] \tag{9}$⎣⎢⎢⎡​H0​(t)H1​(t)H2​(t)H3​(t)​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​2−211​−33−2−1​0010​1000​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​t3t2t1​⎦⎥⎥⎤​(9)
最终可得：
$\left[ \begin{matrix} a & b & c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t^{3} \\ t^{2} \\ t \\ 1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} h_{0} & h_{1} & h_{2} & h_{3} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} H_{0}(t) \\ H_{1}(t) \\ H_{2}(t) \\ H_{3}(t) \end{matrix} \right] \tag{10}$[a​b​c​d​]⎣⎢⎢⎡​t3t2t1​⎦⎥⎥⎤​=[h0​​h1​​h2​​h3​​]⎣⎢⎢⎡​H0​(t)H1​(t)H2​(t)H3​(t)​⎦⎥⎥⎤​(10)
即：
$P(t) = \sum_{i = 0}^{3}h_{i}H_{i}(t) \tag{11}$P(t)=i=0∑3​hi​Hi​(t)(11)
$H_{i}(t)$Hi​(t) 即为构成埃尔米特曲线的基本曲线方程。这四个基本曲线方程如下：
埃尔米特曲线：
其中箭头为切线方向