【概率论】指数分布 Exponential Distribution

要先理解 泊松分布, 再过来看指数分布.
泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。二者共享同一个参数 λ$\lambda$, 因为指数分布描述的是两个独立事件之间发生的事件间隔, 是个连续分布, 而且依经验 λ$\lambda$ 越大, 这个时间间隔就越小, 而且应该就近似等于 1λ$\frac{1}{\lambda }$. PDF 记做

p(x;λ)=λ1x≥0e−λx$$p(x;\lambda )=\lambda {\mathbb{1}}_{x\ge 0}{e}^{-\lambda x}$$

一些性质

期望和方差

• 期望是 1λ$\frac{1}{\lambda }$
• 方差是 1λ2$\frac{1}{{\lambda }^2}$

无记忆性 Memoryless Property

∀s,t≥0,P(T>s+t|T>t)=P(T>s)$$\mathrm{\forall }s,t\ge 0,P(T>s+t|T>t)=P(T>s)$$

, 直观的理解是 某一元件的预期寿命是 T$T$, 已知元件使用了 t$t$ 小时, 它总共使用至少 s+t$s+t$ 小时的概率, 与它从开始是算起使用至少 s$s$ 小时的概率相等.

应用场景

• 机器零件故障 / 硬盘故障 平均时间

在 ML 中

在 ML 中, 我们经常需要一个在 x=0$x=0$ 处取得边界点(sharp point)的分布, exponential distribution 便是理想之选.