【概率与统计】正态分布(Normal Distribution)

连续型随机变量最常用的分布就是 正态分布(normal distribution),也称为高斯分布(Gaussian distribution):

N(x;μ,σ2)=12πσ2−−−−√exp(−12σ2(x−μ)2)$$\mathcal{N}(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\text{exp}(-\frac{1}{2{\sigma }^2}(x-\mu {)}^2)$$

上图画出了几组正太分布的PDF。可见，正太分布由两个参数控制

• μ∈R$\mu \in \mathbb{R}$, 给出了中心密度峰值的坐标，同时这也是分布的期望, E[x]=μ$\mathbb{E}[x]=\mu$
• σ∈(0,∞)$\sigma \in (0,\mathrm{\infty })$,给出了分布的标准差，方差用 σ2${\sigma }^2$表示
  
  • σ$\sigma$ 越小，分布越集中，PDF 越瘦高
  • σ$\sigma$ 越大，分布越分散，PDF 越宽矮。

当我们需要对 PDF 求值时，频繁计算 1σ2$\frac{1}{{\sigma }^2}$ 是一个麻烦的事情。所以我们可以另取一个参数 β=1σ2$\beta =\frac{1}{{\sigma }^2}$来控制分布的精度(precision)，PDF 可以写成：

N(x;μ,β−1)=β2π−−−√exp(−12β(x−μ)2)$$\mathcal{N}(x;\mu ,{\beta }^{-1})=\sqrt{\frac{\beta }{2\pi }}\text{exp}(-\frac{1}{2}\beta (x-\mu {)}^2)$$

二维正太分布

二维正态分布的一般性公式为：

G(x,y;μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√exp(−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ21−2ρ(x−μ1)(x−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22])$$\mathcal{G}(x,y;{\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}exp\left(-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(x-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right)$$

更多细节，看Ref

而图像本身是二维离散信号，在对图像进行高斯滤波的时候，我们通常采用各向均匀处理，所以图像中经常采用的是二维正态分布最简单的形式:

G(x,y;μ=0,σ2)=12πσ2exp(−12σ2(x2+y2))$$\mathcal{G}(x,y;\mu =0,{\sigma }^2)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\text{exp}(-\frac{1}{2{\sigma }^2}(x^2+y^2))$$

, 各点概率密度的取值只与到中心点的距离相关。

相关性质

更多细节，参考 Ref

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N维正态分布

用MATLAB绘制正太分布PDF图

Ref