数据统计方法：确定性时间序列的分析法

时间序列分析是一种动态数据处理的统计方法。该方法基于随机过程理论和数理统计学方法，研究随机数据序列所遵从的统计变化规律，以用于解决实际问题。通常影响时间序列变化的4个要素如下：

• 长期趋势(T)：是时间序列在长时期内呈现出来的持续向上或持续向下的变动。
• 季节变动(S)：是时间序列在一年内重复出现的周期性波动。
• 循环波动©：是时间序列呈现出得非固定长度的周期性变动。
• 随机因素(I)：是时间序列中除去长期趋势、季节变动和循环波动之后的随机波动。不规则波动通常总是夹杂在时间序列中，致使时间序列产生一种波浪形或震荡式的变动。

时间序列的分类

时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列。

平稳序列是指基本上不存在长期趋势的序列，各观测值基本上在某个固定的水平上波动，或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的。或者说只含有随机波动的序列称为平稳序列。

非平稳序列是指有长期趋势、季节性和循环波动的复合型序列，其趋势可以是线性的，也可以是非线性的。

时间序列平稳性判别方法

平稳时间序列有三要求：

1. 存在固定的期望，换句话说，前100个数字串和前1000个数字串他们的期望是一样的，或者说，统计学上可以容忍为一样的。

2. 存在固定的方差。所谓固定，和前面的均值含义一样。

3. 滞后序列之间的协方差是固定的， 所谓固定含义与前面一样，方差只与时间间隔有关。

   满足上述三个条件的，就是我们说的平稳时间序列了。

平稳条件

1. $E(X_t)=μ$E(Xt​)=μ 序列的均值应该是一个常数，而不是随时间变化的函数。下图中左图满足要求，而右图的均值是随时间而变化的。

2. $Var(X_t)=\sigma$Var(Xt​)=σ，序列的方差为一个常数，而不随时间的变化而变化

3. $Cov(X_t,Y_{t+k})=γ_{0,k}$Cov(Xt​,Yt+k​)=γ0,k​序列协方差的值只与时间间隔$k$k有关，与时间$t$t无关

时间序列建摸的两种基本假设

确定性时间序列模型假设：时间序列是由一个确定性过程产生的，这个确定性过程往往可以用时间t的函数$f(t)$f(t),（如$y=cos(2πt)$y=cos(2πt)）来表示，时间序列中的每一个观测值是由这个确定性过程和随机因素决定的。

随机性时间序列模型假设：经济变量的变化过程是一个随机过程，时间序列是由该随机过程产生的一个样本。因此，时间序列具有随机性质，可以表示成随机项的线性组合，即可以用分析随机过程的方法建立时间序列模型。

分析方法

平稳序列预测

简单移动平均法

简单移动平均是对最近$k$k期的统计数值作为观察值，求出算术平均数作为下期预测值。设时间序列已有的$t$t期观察值为$Y_{t-k+1},Y_{t-k+2},...,Y_{t-1},Y_t$Yt−k+1​,Yt−k+2​,...,Yt−1​,Yt​，则$t+1$t+1期预测值$F_{t+1}$Ft+1​为

$F_{t+1}=(Y_{t-k+1}+Y_{t-k+2}+...+Y_{t-1}Y_t)/k$Ft+1​=(Yt−k+1​+Yt−k+2​+...+Yt−1​Yt​)/k

指数平滑法

通过对过去观察值加权平均作为下期预测值，有一次指数平滑法，二次指数平滑法，三次指数平滑法等。

一次指数平滑是将一段时期的预测值与观察值的线性组合作为$t+1$t+1期预测值。
$F_{t+1}=\alpha Y_t+(1-\alpha)F_t$Ft+1​=αYt​+(1−α)Ft​

复合型序列预测

复合型序列指的是含有，趋势，季节，周期和随机成分的序列。处理这类问题常用方法是分解各个因素，常采用的分解模型是$Y_t=T_t× S_t×I_t$Yt​=Tt​×St​×It​，

• 第1步：确定并分离季节成分。计算季节指数，以确定时间序列中的季节成分。然后将季节成分从时间列中分离出去，即用每一个时间序列观察值除以相应的季节指数以消除季节性。
• 第2步：建立预测模型并进行预测。对消除了季节成分的时间序列建立适当预测模型，并根据这一模型进行预测。
• 第3步：计算最后的预测值。用预测值乘以相应的季节指数，得到最终的预测值。

总结