凸优化学习笔记16：次梯度 Subgradient

前面讲了梯度下降的方法，关键在于步长的选择：固定步长、线搜索、BB方法等，但是如果优化函数本身存在不可导的点，就没有办法计算梯度了，这个时候就需要引入次梯度(Subgradient)，这一节主要关注次梯度的计算。

1. 次梯度

次梯度(subgradient)的定义为
$\partial f(x)= \{g|f(y)\ge f(x)+g^T(y-x),\forall y\in\text{dom} f \}$∂f(x)={g∣f(y)≥f(x)+gT(y−x),∀y∈domf}
该如何理解次梯度 $g$g 呢？实际上经过变换，我们可以得到
$\left[\begin{array}{c} g \\ -1 \end{array}\right]^{\top}\left(\left[\begin{array}{l} y \\ t \end{array}\right]-\left[\begin{array}{c} x \\ f(x) \end{array}\right]\right) \leq 0, \forall(y, t) \in \operatorname{epi}f$[g−1​]⊤([yt​]−[xf(x)​])≤0,∀(y,t)∈epif
实际上这里 $[g^T \ -1]^{T}$[gT −1]T 定义了 epigraph 的一个支撑超平面，并且这个支撑超平面是非垂直的，如下面的图所示

光滑函数	非光滑函数

而对于任意的下水平集 $\{y|f(y)\le f(x)\}${y∣f(y)≤f(x)}，都有
$f(y)\le f(x) \Longrightarrow g^T(y-x)\le0$f(y)≤f(x)⟹gT(y−x)≤0
这说明次梯度 $g$g 实际上也是下水平集的一个支撑超平面

Remarks：很有意思的一件事是函数的梯度 $\nabla f$∇f 包含有大量的信息，他的方向代表了函数下降最快的方向，也就是下水平集的法线方向；而他的模长代表了下降的速度，$[\nabla f\ -1]^T$[∇f −1]T 是 epigraph 的法线方向，可以直观想象，如果 $\Vert \nabla f\Vert$∥∇f∥ 越大，那么这个法线方向越趋向于水平，也就是说 epigraph 的标面越趋近于竖直，函数下降速度当然也越快。

每个点的次梯度 $\partial f(x)$∂f(x) 实际上是一个集合，我们先来看这个集合有什么性质呢？我们先列出来然后一一解释：

1. 次梯度映射是单调算子
2. 如果 $x\in\text{ri dom}f$x∈ri domf，则 $\partial f(x)\ne \varnothing$∂f(x)​=∅，而且是有界、闭的凸集
3. $x^\star= \arg\min f(x) \iff 0\in \partial f(x^\star)$x⋆=argminf(x)⟺0∈∂f(x⋆)

首先，他是一个 set-valued mapping，而且是一个单调算子，也即
$(u-v)^T(y-x)\ge0,\forall u\in\partial f(y),v\in\partial f(x)$(u−v)T(y−x)≥0,∀u∈∂f(y),v∈∂f(x)
这个性质很容易由定义导出。

其次，内点处的次梯度总是非空的闭凸集，且有界。

首先可以证明其非空，(默认我们考虑的 $f$f 为凸函数)因为函数 $f$f 是凸的，其 epigraph 在 $(x,f(x))$(x,f(x)) 一定存在一个支撑超平面
$\exists(a, b) \neq 0, \quad\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]^{T}\left(\left[\begin{array}{l} y \\ t \end{array}\right]-\left[\begin{array}{c} x \\ f(x) \end{array}\right]\right) \leq 0 \quad \forall(y, t) \in \text { epi } f$∃(a,b)​=0,[ab​]T([yt​]−[xf(x)​])≤0∀(y,t)∈ epi f
由于 $t$t 可以趋于 $+\infty$+∞，因此 $b\le0$b≤0，如果 $b=0$b=0，由于 $x$x 为内点，也很容易导出矛盾，因此可以证明 $b<0$b<0，于是就可以得到 $g=a/|b|$g=a/∣b∣。

其次可以证明其为闭凸集，次梯度还可以表示为
$\begin{aligned} \partial f(x)&= \{g|f(y)\ge f(x)+g^T(y-x),\forall y\in\text{dom} f \} \\ &= \bigcap_{y\in \text{dom}f} \{g|g^T(y-x)\le f(y)-f(x) \} \end{aligned}$∂f(x)​={g∣f(y)≥f(x)+gT(y−x),∀y∈domf}=y∈domf⋂​{g∣gT(y−x)≤f(y)−f(x)}​
这是很多个半空间的交集，因此 $\partial f(x)$∂f(x) 是一个闭的凸集。

最后可以证明次梯度集合是有界的，为了证明他有界，只需证明他的 $l_\infty$l∞​ 范数有界即可。可以取
$B=\left\{x \pm r e_{k} | k=1, \ldots, n\right\} \subset \operatorname{dom} f$B={x±rek​∣k=1,…,n}⊂domf
定义 $M=\max _{y \in B} f(y)<\infty$M=maxy∈B​f(y)<∞，应用次梯度的定义就可以得到
$\|g\|_{\infty} \leq \frac{M-f(x)}{r} \quad \text { for all } g \in \partial f(x)$∥g∥∞​≤rM−f(x)​ for all g∈∂f(x)
注意上面的非空、有界、闭凸集都要求 $x$x 为定义域的内点，如果是边界上则无法保证。

例子 1：对于凸集 $C$C，定义函数 $\delta_C(x)=\begin{cases}0,&x\in C\\+\infty,&x\notin C\end{cases}$δC​(x)={0,+∞,​x∈Cx∈/​C​，那么次梯度为
$\begin{aligned} g\in\partial \delta_C(x) &\iff \delta_C(y)\ge \delta_C(x)+g^T(y-x),\forall y\in C \\ &\iff g^T(y-x)\le0, \forall y\in C \\ &\iff g\in N_C(x) \quad \text{ (normal cone at $x$)} \end{aligned}$g∈∂δC​(x)​⟺δC​(y)≥δC​(x)+gT(y−x),∀y∈C⟺gT(y−x)≤0,∀y∈C⟺g∈NC​(x) (normal cone at x)​
Remarks：集合 $C$C 的 normal cone 的定义为
$\forall x\in C,\quad N_C(x)=\{g| g^T(y-x)\le0,\forall y\in C\}$∀x∈C,NC​(x)={g∣gT(y−x)≤0,∀y∈C}
例子 2：函数 $f(x)=\vert x\vert,\partial f(x)=\begin{cases}1,&x>0\\ [-1,1],&x=0\\ -1&x<0\end{cases}$f(x)=∣x∣,∂f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​1,[−1,1],−1​x>0x=0x<0​

例子 3：函数 $f(x)=\Vert x\Vert_2,\partial f(0)=\{g|\Vert g\Vert_2\le1\}$f(x)=∥x∥2​,∂f(0)={g∣∥g∥2​≤1}

例子 4：对于任意范数 $f(x)=\Vert x\Vert$f(x)=∥x∥
$\partial f(x)=\{y|\Vert y\Vert_*\le1,\left<y,x\right>=\Vert x\Vert \}$∂f(x)={y∣∥y∥∗​≤1,⟨y,x⟩=∥x∥}
证明：$\forall g\in\partial f(x)$∀g∈∂f(x)，需要 $\Vert y\Vert \ge \Vert x\Vert+ g^T(y-x)\quad(\Delta)$∥y∥≥∥x∥+gT(y−x)(Δ)

可以取 $y=2x \Longrightarrow \Vert x\Vert \ge g^Tx$y=2x⟹∥x∥≥gTx，也可以取 $y=0\Longrightarrow 0\ge \Vert x\Vert-g^Tx$y=0⟹0≥∥x∥−gTx，因此有 $g^Tx=\Vert x\Vert$gTx=∥x∥

由 $(\Delta)$(Δ) 式可知应有 $\Vert y\Vert \ge g^Ty \iff \Vert g\Vert_*\le1$∥y∥≥gTy⟺∥g∥∗​≤1。

2. 次梯度计算

每个点的次梯度是一个集合，这里有两个概念

Weak subgradient calculus：只需要计算其中一个次梯度就够了；

Strong subgradient calculus：要计算出 $\partial f(x)$∂f(x) 中的所有元素。

要想计算出所有的次梯度是很难的，所以大多数时候只需要得到一个次梯度就够了，也就是 Weak subgradient calculus。不过，对于下面这几种特殊情况，我们可以得到完整的次梯度描述(也即 Strong subgradient calculus)，他们是：

1. 如果 $f$f 在 $x$x 是可微的，那么 $\partial f(x)=\{\nabla f(x)\}$∂f(x)={∇f(x)}
2. 非负线性组合：$f(x)=\alpha_1 f_1(x)+\alpha_2 f_2(x)$f(x)=α1​f1​(x)+α2​f2​(x)，那么 $\partial f(x)=\alpha_1 \partial f_1(x)+\alpha_2 \partial f_2(x)$∂f(x)=α1​∂f1​(x)+α2​∂f2​(x)，第二个式子是集合的加法；
3. 仿射变换：$f(x)=h(Ax+b)$f(x)=h(Ax+b)，那么 $\partial f(x)=A^T h(Ax+b)$∂f(x)=ATh(Ax+b)

对于第一条的证明，我们可以取 $y=x+r(p-\nabla f(x)),p\in\partial f(x)$y=x+r(p−∇f(x)),p∈∂f(x)，那么根据次梯度的定义就有 $\Vert p-\nabla f(x)\Vert^2\le \frac{O(r^2)}{r}\to0$∥p−∇f(x)∥2≤rO(r2)​→0 随着 $r\to0$r→0，因此就有 $\nabla f(x)=p$∇f(x)=p。

对于第三条的证明，只需要分别证明 $A^T h(Ax+b) \subseteq \partial f(x)$ATh(Ax+b)⊆∂f(x) 和 $\partial f(x) \subseteq A^T h(Ax+b)$∂f(x)⊆ATh(Ax+b)，前者很容易，主要是后者。由于次梯度 $d\in \partial f(x)$d∈∂f(x) 需要满足 $f(z)\ge f(x)+d^T(z-x) \iff h(Az+b)-d^Tz\ge h(Ax+b)-d^Tx$f(z)≥f(x)+dT(z−x)⟺h(Az+b)−dTz≥h(Ax+b)−dTx，也就是说 $(x,Ax+b)$(x,Ax+b) 实际上是如下问题的最优解
$\begin{aligned} \min \quad& h(z)-d^Ty \\ \text{s.t.}\quad& Ay+b = z,\quad z\in\text{dom}h \end{aligned}$mins.t.​h(z)−dTyAy+b=z,z∈domh​
如果 $(Range(A)+b)\cap \text{ri dom}h \ne \varnothing$(Range(A)+b)∩ri domh​=∅，说明 SCQ 成立，则强对偶性成立，于是根据拉格朗日对偶原理有
$\exist \lambda,\text{ s.t. }(x,Ax+b) \in \arg\min \{h(z)-d^Ty+\lambda^T(Ay+b-z)\} \\ \Longrightarrow \begin{cases} \nabla_y L(y,z,\lambda)=0 \Longrightarrow 0\in \partial h(z)-\lambda \\ \nabla_z L(y,z,\lambda)=0 \Longrightarrow d=A^T\lambda \end{cases}$∃λ, s.t. (x,Ax+b)∈argmin{h(z)−dTy+λT(Ay+b−z)}⟹{∇y​L(y,z,λ)=0⟹0∈∂h(z)−λ∇z​L(y,z,λ)=0⟹d=ATλ​

推论：根据第 3 条，可以得到：如果考虑函数 $F(x)=f_1(x)+...+f_m(x)$F(x)=f1​(x)+...+fm​(x)，且 $\bigcap_i \text{ri dom}f_i\ne \varnothing$⋂i​ri domfi​​=∅，则 $\partial F(x)=\partial f_1(x)+... + \partial f_m(x)$∂F(x)=∂f1​(x)+...+∂fm​(x)。（这个实际上可以直接右上面的第二条得到，这里只不过又验证了一次）

证明：我们可以考虑函数 $f(x)=f_1(x_1)+...+f_m(x_m)$f(x)=f1​(x1​)+...+fm​(xm​)，在定义 $A=[I,...,I]^T$A=[I,...,I]T，那么就有 $F(x)=f(Ax)$F(x)=f(Ax)，所以 $\partial F(x)=A^T \partial f(Ax)=[I\ ...\ I][\partial f_1(x),...,\partial f_m(x)]^T = \partial f_1(x)+... + \partial f_m(x)$∂F(x)=AT∂f(Ax)=[I ... I][∂f1​(x),...,∂fm​(x)]T=∂f1​(x)+...+∂fm​(x)。

上面是能获得 Strong subgradient calculus 的几个原则，对于其他情况，我们考虑找到一个次梯度就够了。下面给出一些常见的情况。

点点最大值：$f(x)=\max\{f_1(x),...,f_m(x) \}$f(x)=max{f1​(x),...,fm​(x)}，可以定义 $I(x)=\{i|f_i(x)=f(x)\}$I(x)={i∣fi​(x)=f(x)}，那么他的

• weak result：choose any $g\in\partial f_k(x)$g∈∂fk​(x)，其中 $k\in I(x)$k∈I(x)
• strong result：$\partial f(x)=\text{conv}\bigcup_{i\in I(x)}\partial f_i(x)$∂f(x)=conv⋃i∈I(x)​∂fi​(x)

点点上确界：$f(x)=\sup_{\alpha\in \mathcal{A}} f_\alpha (x)$f(x)=supα∈A​fα​(x)，其中 $f_\alpha(x)$fα​(x) 关于 $x$x 是凸的，定义 $I(x)=\{\alpha\in\mathcal{A}|f_\alpha(x)=f(x)\}$I(x)={α∈A∣fα​(x)=f(x)}，那么

• weak result：choose any $g\in\partial f_\beta (\hat{x})$g∈∂fβ​(x^)，其中 $f(\hat{x})=f_\beta(\hat{x})$f(x^)=fβ​(x^)
• strong result：$\text{conv}\bigcup_{\alpha\in I(x)}\partial f_\alpha(x) \subseteq \partial f(x)$conv⋃α∈I(x)​∂fα​(x)⊆∂f(x)，如果要取等号，需要额外的条件

下确界：$f(x)=\inf_y h(x,y)$f(x)=infy​h(x,y)，其中 $h(x,y)$h(x,y) 关于 $(x,y)$(x,y) 是联合凸的，那么

• weak result：$(g,0)\in \partial h(\hat{x},\hat{y})$(g,0)∈∂h(x^,y^​)，其中 $\hat{y}=\arg\min h(\hat{x},y)$y^​=argminh(x^,y)

复合函数：$f(x)=h(f_1(x),...,f_k(x))$f(x)=h(f1​(x),...,fk​(x))，其中 $h$h 为单调不减的凸函数，$f_i$fi​ 为凸函数

• weak result：$g=z_1g_1+...+z_kg_k,z\in\partial h(f_1(x),...,f_k(x)),g_i\in \partial f_i(x)$g=z1​g1​+...+zk​gk​,z∈∂h(f1​(x),...,fk​(x)),gi​∈∂fi​(x)

期望：$f(x)=\mathbb{E}h(x,u)$f(x)=Eh(x,u)，其中 $u$u 为随机变量，$h$h 对任意的 $u$u 关于 $x$x 都是凸的

• weak result：选择函数 $u\mapsto g(u),g(u)\in \partial_x h(\hat{x},u)$u↦g(u),g(u)∈∂x​h(x^,u)，则 $g=\mathbb{E}_u g(u) \in \partial f(\hat{x})$g=Eu​g(u)∈∂f(x^)

例子 1：picewise-linear function $f(x)=\max_{i=1,...,m}(a_i^Tx+b_i),\partial f(x)=\text{conv}\{a_i|i\in I(x)\}$f(x)=maxi=1,...,m​(aiT​x+bi​),∂f(x)=conv{ai​∣i∈I(x)}

例子 2：$l_1$l1​ 范数 $f(x)=\Vert x\Vert_1=|x_1|+...+|x_n|,\partial f(x)=J_1\times \cdots \times J_n$f(x)=∥x∥1​=∣x1​∣+...+∣xn​∣,∂f(x)=J1​×⋯×Jn​，其中 $J_k=\begin{cases}[-1,1]&x_k=0\\ {1}&x_k>0\\ {-1}&x_k<0 \end{cases}$Jk​=⎩⎪⎨⎪⎧​[−1,1]1−1​xk​=0xk​>0xk​<0​

例子 3：$f(x)=\lambda_{\max}(A(x))=\sup_{\Vert y\Vert_2=1}y^TA(x)y$f(x)=λmax​(A(x))=sup∥y∥2​=1​yTA(x)y，其中 $A(x)=A_0+x_1A_1+\cdots +x_nA_n$A(x)=A0​+x1​A1​+⋯+xn​An​，则取 $\lambda_{\max}(A(\hat{x}))$λmax​(A(x^)) 对应的单位特征向量 $y$y，次梯度可以表示为 $(y^TA_1y,...,y^TA_ny)\in \partial f(\hat{x})$(yTA1​y,...,yTAn​y)∈∂f(x^)

例子 4：到凸集的欧氏距离 $f(x)=\inf_{y\in C}\Vert x-y\Vert_2=\inf_{y} h(x,y)$f(x)=infy∈C​∥x−y∥2​=infy​h(x,y)，其中集合 $C$C 为凸集，函数 $h$h 关于 $(x,y)$(x,y) 是联合凸的。
$g=\begin{cases}0&\hat{x}\in C\\ \frac{1}{\|\hat{y}-\hat{x}\|_{2}}(\hat{x}-\hat{y})=\frac{1}{\|\hat{x}-P(\hat{x})\|_{2}}(\hat{x}-P(\hat{x})) & \hat{x}\notin C \end{cases}$g={0∥y^​−x^∥2​1​(x^−y^​)=∥x^−P(x^)∥2​1​(x^−P(x^))​x^∈Cx^∈/​C​
例子 5：定义如下凸优化问题的最优解为 $f(u,v)$f(u,v)
$\begin{aligned} \text{minimize} \quad& f_{0}(x) \\ \text{subject to}\quad& f_{i}(x) \leq u_{i}, \quad i=1, \ldots, m\\ &A x=b+v \end{aligned}$minimizesubject to​f0​(x)fi​(x)≤ui​,i=1,…,mAx=b+v​
如果假设 $f(\hat{u},\hat{v})$f(u^,v^) 有界且强对偶性成立，那么对于对偶问题如下对偶问题
$\begin{aligned} \text{maximize} \quad& \inf _{x}\left(f_{0}(x)+\sum_{i} \lambda_{i}\left(f_{i}(x)-\hat{u}_{i}\right)+v^{T}(A x-b-\hat{v})\right) \\ \text{subject to}\quad& \lambda\succeq 0 \end{aligned}$maximizesubject to​xinf​(f0​(x)+i∑​λi​(fi​(x)−u^i​)+vT(Ax−b−v^))λ⪰0​
若其最优解为 $(\hat\lambda,\hat\nu)$(λ^,ν^)，则有 $(-\hat\lambda,-\hat\nu)\in \partial f(\hat{u},\hat{v})$(−λ^,−ν^)∈∂f(u^,v^)。

3. 对偶原理与最优解条件

前面我们对于可导函数获得了对偶原理以及 KKT 条件，那如果是不可导的函数呢？我们有
$f(y) \geq f\left(x^{\star}\right)+0^{T}\left(y-x^{\star}\right) \quad \text { for all } y \quad \Longleftrightarrow \quad 0 \in \partial f\left(x^{\star}\right)$f(y)≥f(x⋆)+0T(y−x⋆) for all y⟺0∈∂f(x⋆)

例子：对于优化问题 $\min f(x),\text{s.t. }x\in C \iff \min f(x)+\delta_C(x)=F(x)$minf(x),s.t. x∈C⟺minf(x)+δC​(x)=F(x)，因此
$0\in \partial f(x^\star)+\partial \delta_C(x^\star) \Longrightarrow \exist p\in\partial f(x^\star),\quad\text{s.t.}-p\in \partial\delta_C(x^\star)=N_C(x^\star)$0∈∂f(x⋆)+∂δC​(x⋆)⟹∃p∈∂f(x⋆),s.t.−p∈∂δC​(x⋆)=NC​(x⋆)
如果 $f\in C^1$f∈C1，则有 $-\nabla f(x^\star)\in N_C(x^\star)$−∇f(x⋆)∈NC​(x⋆)。

KKT 条件怎么变呢？只需要修改一下梯度条件：

1. 原问题可行性 $x^\star$x⋆ is primal feasible
2. 对偶问题可行性 $\lambda^\star \succeq0$λ⋆⪰0
3. 互补性条件 $\lambda_i^\star f_i(x^\star)=0,i=1,...,m$λi⋆​fi​(x⋆)=0,i=1,...,m
4. 梯度条件 $0\in \partial f_0(x^\star)+\sum_i \lambda_i^\star \partial f_i(x^\star)$0∈∂f0​(x⋆)+∑i​λi⋆​∂fi​(x⋆)

4. 方向导数

方向导数(directional derivative)的定义为
$\begin{aligned} f^{\prime}(x ; y) &=\lim _{\alpha \searrow 0} \frac{f(x+\alpha y)-f(x)}{\alpha} \\ &=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(tf\left(x+\frac{1}{t} y\right)-t f(x)\right) \end{aligned}$f′(x;y)​=α↘0lim​αf(x+αy)−f(x)​=t→∞lim​(tf(x+t1​y)−tf(x))​
方向导数是齐次的，也即
$f'(x;\lambda y)=\lambda f'(x;y) \quad \text{for }\lambda\ge0$f′(x;λy)=λf′(x;y)for λ≥0
对于凸函数，方向导数也可以定义为
$\begin{aligned} f^{\prime}(x ; y) &=\inf _{\alpha > 0} \frac{f(x+\alpha y)-f(x)}{\alpha} \\ &=\inf _{t >0}\left(tf\left(x+\frac{1}{t} y\right)-t f(x)\right) \end{aligned}$f′(x;y)​=α>0inf​αf(x+αy)−f(x)​=t>0inf​(tf(x+t1​y)−tf(x))​
要证明的话，只需要证明 $g(\alpha)=\frac{f(x+\alpha y)-f(x)}{\alpha}$g(α)=αf(x+αy)−f(x)​ 随着 $\alpha$α 单调递减有下界。

实际上方向导数定义了沿着 $y$y 方向的函数下界，也即
$f(x+\alpha y) \geq f(x)+\alpha f^{\prime}(x ; y) \quad \text { for all } \alpha \geq 0$f(x+αy)≥f(x)+αf′(x;y) for all α≥0
对于凸函数，$x\in\text{int dom}f$x∈int domf，也有
$f^{\prime}(x ; y)=\sup _{g \in \partial f(x)} g^{T} y$f′(x;y)=g∈∂f(x)sup​gTy
也即 $f'(x;y)$f′(x;y) 是 $\partial f(x)$∂f(x) 的支撑函数

Remarks：需要注意的是负的次梯度方向不一定是函数值下降方向，而只有方向导数 <0 的方向才是函数值下降方向。反例如下图

如果我们想找到下降最快的方向(Steepest descent direction)，则需要
$\Delta x_{\mathrm{nsd}}=\underset{\|y\|_{2} \leq 1}{\operatorname{argmin}} f^{\prime}(x ; y)$Δxnsd​=∥y∥2​≤1argmin​f′(x;y)
根据前面的式子我们知道 $\min f'(x;y)=\min_{\Vert y\Vert_2\le1}\sup_{g\in\partial f(x)}g^Ty$minf′(x;y)=min∥y∥2​≤1​supg∈∂f(x)​gTy，如果假设极大极小可以换序，则可以等价为 $\sup_g \inf_y g^Ty = \sup_{g\in\partial f(x)} -\Vert g\Vert_2$supg​infy​gTy=supg∈∂f(x)​−∥g∥2​，上面过程可以表述为原问题与对偶问题
$\begin{aligned} \text{minimize} \quad& f'(x;y) \\ \text{subject to}\quad& \|y\|_{2} \leq 1 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \text{minimize} \quad& -\|g\|_{2} \\ \text{subject to}\quad& g \in \partial f(x) \end{aligned}$minimizesubject to​f′(x;y)∥y∥2​≤1​minimizesubject to​−∥g∥2​g∈∂f(x)​
于是就有 $f^{\prime}\left(x ; \Delta x_{\mathrm{nsd}}\right)=-\left\|g^{\star}\right\|_{2}$f′(x;Δxnsd​)=−∥g⋆∥2​，$\text { if } 0 \notin \partial f(x), \Delta x_{\mathrm{nsd}}=-g^{\star} /\left\|g^{\star}\right\|_{2}$ if 0∈/​∂f(x),Δxnsd​=−g⋆/∥g⋆∥2​，如下图所示

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前面的一些博客链接如下
凸优化专栏
凸优化学习笔记 1：Convex Sets
凸优化学习笔记 2：超平面分离定理
凸优化学习笔记 3：广义不等式
凸优化学习笔记 4：Convex Function
凸优化学习笔记 5：保凸变换
凸优化学习笔记 6：共轭函数
凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
凸优化学习笔记 8：对数凸函数
凸优化学习笔记 9：广义凸函数
凸优化学习笔记 10：凸优化问题
凸优化学习笔记 11：对偶原理
凸优化学习笔记 12：KKT条件
凸优化学习笔记 13：KKT条件 & 互补性条件 & 强对偶性
凸优化学习笔记 14：SDP Representablity
凸优化学习笔记 15：梯度方法
凸优化学习笔记 16：次梯度
凸优化学习笔记 17：次梯度下降法