计算复杂性第七章——时间复杂性

一、度量复杂性

语言： $A=\{0^k1^k | k\ge 0\}$ ，显然该语言可判定

$M1$ ：单带图灵机
$M2$ ：更快的单带图灵机
$M3$ ：双带图灵机

时间复杂度定义：令M是一个在所有输入上都停机的确定型图灵机，f(n)是M在所有长度为n的输入上运行时所经过的最大步数，若f(n)是M的运行时间，则称M在时间f(n)内运行，M是f(n)时间图灵机，n是输入长度。

时间复杂性类定义：时间复杂度类 $TIME(t(n))$ 为由 $O(t(n))$ 时间的图灵机判定的所有语言的集合。

由恒等式 $n=2^{log_2^n}$ 可得 $n^c=2^{clog_2^n}$ ，故而可以得到 $2^{O(logn)}$ 表示 $n^c$ 的一个上界。

$M1$

对于输入串 $w$ ：

1.扫描带子，如果在1的右边发现0，就拒绝
2.如果带子上既有0也有1，就重复下一步
3.扫描带子，删除一个0和一个1
4.如果删除所有1后还有0或者删除所有0后还有1，就拒绝，否则接收

$A$ 语言在 $M1$ 上 $A \in TIME(n^2)$ ,
时间复杂度： $O(n^2)$

$M2$

对于输入串 $w$ ：

1.扫描带子，如果在1的右边发现0，就拒绝
2.只要带子上还有0和1，就重复下面步骤
3.扫描带子，检查剩余的0，1的总数是偶数还是奇数，若是奇数则拒绝
4.再次扫描带子，从第一个0开始，隔一个删除一个0；然后从第一个1开始，隔一个删除一个1
5.如果袋子上不再有0和1，接收；否则拒绝

$A$ 语言在 $M2$ 上 $A \in TIME(nlogn)$ ,
时间复杂度： $O(nlogn)$

$M3$

对于输入串 $w$ :

1.扫描带子，如果在1的右边发现0，就拒绝
2.扫描带子1上的0，直到抵达第一个1时停止，同时将0复制到带子2上
3.扫描带子1上的1直到输入的末尾，每次从带子1上读到1个1，就在带子2上删除一个0，如果读完1之前所有的0都被删除，则拒绝
4.如果所有的0都被删除，则接受，如果还有0剩下，则拒绝

$A$ 语言在 $M2$ 上 $A \in TIME(n)$ ,
时间复杂度： $O(n)$

$\quad$ 可以得到，A语言在单带图灵机上时间复杂度为 $O(nlogn)$ ，在双带图灵机上时间复杂度为 $O(n)$ 。由此可以得到：A的复杂度与选择的计算模型有关。

二、模型间的复杂性关系

$\quad$ 考察三种计算模型：单带图灵机、多带图灵机和非确定型图灵机。
定理：设 $t(n)$ 是一个函数， $t(n)\geq n$ 。则每一个 $t(n)$ 时间的多带图灵机都和某个 $O(t^2(n))$ 时间的单带图灵机等价。
定义：设 $N$ 是一个非确定型图灵机，并且是个判定机，则其运行时间 $f(n)$ 是在任何长度为n的输入上所有计算分支中的最大步数。
定理：设 $t(n)$ 是一个函数， $t(n)\geq n$ 。则每一个 $t(n)$ 时间的非确定型单带图灵机都和某个 $O(2^{O(t(n))})$ 时间的确定型单带图灵机等价。

三、P类

定义： $P$ 是确定型单带图灵机在多项式时间内可判定的语言类： $P=U_k TIME(n^k)$
举例：判断两个数是否是互素、寻找有向图是否存在一条从s到t的路径，这类问题属于P。
定理：每一个上下文无关语言都是P的成员

四、NP类

定义：NP是具有多项式时间验证机的语言类。
验证机定义：语言A的验证机是一个算法V，这里 $A=\{w|对某个字符串c, V接受<w,c>\}$ 。因为只根据 $w$ 的长度来度量验证机的时间，所有多项式时间验证机在 $w$ 的长度的多项式时间内运行。若A有一个多项式时间验证机，则称A语言多项式时间可验证。
定理：一个语言在NP中，当且仅当它能被某个非确定型多项式图灵机判定。
定义： $NTIME(t(n))=\{L|L是一个被O(t(n))时间的非确定型图灵机判定的语言\}$ 。
推论： $NP=U_kNTIME(n^k)$
NP问题举例：团问题、子集和问题。注意这些问题的补集不是很明显的属于NP，比如，验证某个图中不存在k个点的团，好像比验证它存在更困难。我们定义另外一个复杂类 $coNP$ ，它包括NP中的语言的补语言。目前还不知道 $coNP$ 是否与NP不同。

P与NP问题

P=可以多项式时间判定的语言类
NP=可以多项式时间验证的语言类

$\quad$ P=NP？这个问题是目前最大的未解决的问题之一。目前已知最好的判定语言是NP的确定型方法是使用指数时间，既可以证明： $NP \subseteq EXPTIME = U_kTIME(2^{n^k})$ 。但是，不知道NP是否包含在更小的确定型时间复杂度类。

五、NPC问题

$\quad$ 定义：NP问题中存在一类问题，这类问题中任何一个存在多项式时间算法，那么所有的NP问题都是多项式时间可解。这类问题称为NP完全问题。
举例：SAT问题（第一个被证明的NPC问题，COOK），团问题，顶点覆盖问题，哈密尔顿路径问题，子集和问题。
定理： $SAT \in P，当且仅当P=NP$

六、多项式时间可归约性

$\quad$ 多项式时间规约：语言A可多项式时间规约到B，记为 $A \le_pB$ ，若存在多项式时间可计算函数 $f$ ，对于每一个 $w$ ，有： $w\in A \iff f(w)\in B$ ，函数 $f$ 称为A到B的多项式时间规约。
定理： $若A\le_pB且B\in P，则A\in P$ 。
证明： $N=对输入w: 1.计算f(w);2.在输入f(w)上运行M，输出M的输出。$
上面两步都是多项式时间可计算的，两个多项式的合成还是多项式，故而 $A\in P$ 。

一个规约问题的示例： $3SAT \le_p 团问题$

计算复杂性第七章——时间复杂性

NP完全性的定义和定理

定义：如果语言B满足下面两个条件，则称B是NP完全的：

1.B属于NP
2.NP中每个A都可以多项式时间可规约未B

当只满足条件2时称B是NPH问题。
定理：若 $B\in NPC且B\in P，则P=NP$
证明：B是NPC的，故 $B\in NP$ 且NP中每个A都可以归约到B，又因为 $B \in P$ ，故而 $A \in P$ ，故而 $P=NP$ 。
定理：若 $B\in NPC且B\le_p C且C\in NP$ ，则 $C\in NPC$ 。
证明：核心目的在于证明NP中每个A都可以多项式归约到C。根据可规约性的等价关系，即A可多项式规约到B，B可多项式规约到C，故而A可多项式规约到C，又因为C是NP问题，故而C是NP完全的。