针孔相机成像原理

针孔相机的成像原理

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之前一直对相机的原理有些模糊，这里记一个笔记，以免遗忘。

设相机坐标系下的点$P(x,y,z)$P(x,y,z)在相机成像平面上成的像为$P^{'}(X^{'},Y^{'},Z^{'})$P′(X′,Y′,Z′)

根据三角形的相似原理，可以得到如下式子：
$\begin{gathered} \frac{Z}{f}=\frac{X}{X^{'}}=\frac{Y}{Y^{'}}\\ \begin{aligned} X^{'}&=&\frac{f}{Z}X\\ Y^{'}&=&\frac{f}{Z}Y \end{aligned} \end{gathered} \tag{1}$fZ​=X′X​=Y′Y​X′Y′​==​Zf​XZf​Y​​(1)

注意此时$X^{'}$X′的单位是米，但是像素平面上的单位是像素。同时需要注意的一点是，成像平面的原点在成像平面的中点上，一般来说，成像平面的原点在像平面的右上角：

结合以上两点，我们对式(1)进行转化变为：
$\begin{gathered} \begin{cases} u=\alpha X^{'} + c_x\\ v=\beta Y^{'} + c_y \end{cases} \end{gathered}${u=αX′+cx​v=βY′+cy​​​
其中$u,v$u,v是像素平面上的像素坐标单位是像素，$\alpha, \beta$α,β是统一尺度的因子，单位为像素/(毫)米。$c_x,c_y$cx​,cy​单位为像素，是平移坐标系的偏移量。

此时可以将相机平面下的3D坐标转化为像素平面上的坐标公式写为：
$\begin{bmatrix} u\\v\\1 \end{bmatrix}=\frac{1}{Z} \begin{bmatrix}{f_x},&{0},&{c_x}\\{0},&{f_y},&{c_y}\\{0},&{0},&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X\\Y\\Z\end{bmatrix}$⎣⎡​uv1​⎦⎤​=Z1​⎣⎡​fx​,0,0,​0,fy​,0,​cx​cy​1​⎦⎤​⎣⎡​XYZ​⎦⎤​

其中$f_x$fx​表示$\alpha f$αf, $f_y$fy​表示$\beta f$βf。
由此我们便可以总结出将相机坐标系下的3D坐标转化到像素平面上的像素坐标需要先得到相机坐标系下3D点的归一化坐标$[X/Z,Y/Z,1]^T$[X/Z,Y/Z,1]T。然后乘上相机的内参矩阵：
$K=\begin{bmatrix}{f_x},&{0},&{c_x}\\{0},&{f_y},&{c_y}\\{0},&{0},&{1}\end{bmatrix}$K=⎣⎡​fx​,0,0,​0,fy​,0,​cx​cy​1​⎦⎤​
就可以得到像素平面上的坐标值了。

相机畸变模型和校正方法

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相机畸变模型和校正方法

先把公式摆在这里：
$\begin{aligned} &x_{distorted}=x(1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)\\&y_{distorted}=y(1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)\\ &r^2=x^2+y^2 \end{aligned}$​xdistorted​=x(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)ydistorted​=y(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)r2=x2+y2​