ARIMA 模型 差分自回归移动平均模型
Autoregressive Integrated Moving Average Model
其分为 差分 自回归 移动平均 三部分（接下来也是按这三部分介绍ARIMA）
原理的意思是
第一个图是原数据图，第二个图是做了一阶差分的数据图 ，第三个图是做了二阶差分的图
可以看到，第二第三个图是围绕某一值上下浮动变化的，也就是非平稳（第一个图）过渡到平稳（二三个图）
滞后值其实也就是p,q，其对应是AR自回归方程需要做几阶（和前第几天的数据有关系）和 MR移动平均方程需要做几阶（调整前第几天导致的误差）
接下来先讲一下什么是平稳性 ，如何让一个非平稳的数据中得到平稳的数据
其实也就是数据能按照一定的分布，上下浮动地变化，并且分布不会因为时间而改变（也就是同一段时间内认为分布一样）
因此平稳性就是对序列的均值和方差有不发生明显变化的要求
平稳也分严平稳和弱平稳
而我们ARIMA模型其实研究更多的是弱平稳下的数据，也就是认为，未来的数据是会和历史的数据有一定关联的
而我们如何从一个非平稳的数据中得到我们想要的平稳的数据呢
就是需要用到我们的差分法（ARIMA模型第一部分）
进行差分后可以看到得到的数据是更平稳的 ，当然此时的数据是原数据在时间序列上的变化值
得到一个平稳的数据后，就是需要AR自回归模型（ARIMA模型第二部分）和MA 移动平均模型（ARIMA模型第三部分）
AR自回归模型的条件是平稳性，描述的是用历史数据来进行预测
这里的p阶自回归模型定义中，p其实就是综合考虑当前yt 和 前i天数据 yt-i 的数据之间的关系
也就是 前i天数据 yt-i 对 当前yt出现的数据的影响各有多大呢——这个就是需要求解的自相关系数ri
p值，q值也一样，都是需要我们预先指定，在训练过程中得到合适的自相关系数
而AR自回归模型也有其限制
自相关系数太小了，其实也可以认为数据间都已经是没有一个明显的相关性，也就不存在能用历史数据来进行预测任务
之后就是MA移动平均模型
MA移动平均模型更关注的是在AR中的误差项
这里的q值需要我们指定，而sita 是在训练中不断调整的值
其意思是对前第几天的数据误差的综合考虑，减少前第几天的数据可能波动（减少部分数据的浮动范围）
因此就有ARMA模型
ARMA模型的数据在预处理的时候进行差分处理的话 就是ARIMA模型
在ARIMA模型中p q是需要我们去指定，ri 和 sita i 是在训练过程中不断优化的参数
那我们如何选择合适的p q 值呢
就需要ACF 和 PACF提供依据了
ACF：
ACF研究的是 yt 和 yt-k 的关系 也就是当前时间数据值和前面某一天的数据的关系
而PACF 是在ACF 的情况下更加纯净地去考虑 yt 和 yt-k 的关系
就是因为在ACF 中yt yt-k中间 的数据会yt的数据是有影响的，也就是并不完全是yt 和 yt-k 两个数据间的关系
因此才有了PACF ，是更严格地去考虑yt yt-k的关系
知道了ACF PACF ，也就能去求p q值（主要看什么时候截尾）
那截尾在图像上表达什么意思呢
在图像上，截尾就是在某一个值之后就是落在95%的置信区间上，那么截尾的位置就是我们p q取得位置
像上面的数据，如果紫色区域就是置信区间，那么p q的值其实可以取0或1 看看效果
而这里AR（p）看PACF ：AR 希望更清楚考虑的是yt 和 yt-k 两者关系
MA（q）看ACF：这里可以综合因素去考虑和调整误差项
到此时我们就可以得出ARIMA模型的建模流程了：
之后我们更详细的来讲一下怎么通过选择参数得到更优的ARIMA，和评估ARIMA模型的效果
选择pq参数，我们其实可以通过AIC 和 BIC 结合热度图的方式，得到合适和值
这里的更简单的模型是基于AR MA 来说的，也就是多考虑有主要效果的数据
AIC和BIC 很明显是希望越小越好的（L似然函数——极大似然函数，和实际越像越好；k模型参数个数，多集中在影响更大的数据，因此k参数较小更好 （82原则））
而BIC比AIC更好的一点是BIC还会考虑样本数量
我们选择BIC最小的那一组pq参数组合 也就是 p=1 q=1
之后也可以看下ARIMA模型情况，这里也可以用一个QQ图来判断ARIMA模型效果