满秩分解

1.定义
2.存在性定理
3.hermite矩阵
4.满秩分解的一种求法

1.定义

设矩阵 $A\in C_r^{m\times n}(r>0)$ ,若存在 $A=FG,F\in C_r^{m\times r},A\in G_r^{r\times n}$ 则称其为A的一个满秩分解

2.存在性定理

设 $A\in C_r^{m\times n}(r>0)$ 存在 $E\in C_m^{m\times m}(r>0)$ 使得 $EA=\left[ \begin{matrix}G\\...\\O \end{matrix}\right]_{m-r行}^{r行}$ $A=E^{-1}\left[ \begin{matrix}G\\...\\O \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}F&S \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}G\\...\\O \end{matrix}\right]=FG$ 其中 $F\in C_{r}^{m\times r}$
( $E$ 是满秩矩阵，它的逆的秩也是 $m$ )

3.hermite矩阵

形如
满秩分解
称为hermite标准型

前 $r$ 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后 $m-r$ 行的元素全为零（称为零行）；
若第 $i$ 行的第一个非零元素（即1）在第 $j_i$ 列，则 $j_1<j_2...<j_r$

4.满秩分解的一种求法

例1：求 $A=\left[ \begin{matrix}1&2&3&0 \\ 0&2&1&-1 \\1&0&2&1 \end{matrix}\right]$ 的满秩分解
解：整体思路
$G$ 矩阵即为将 $A$ 矩阵变为hermite标准型后取前 $r$ 行的矩阵，而 $F$ 矩阵是 $F=AP_1=E^{-1}BP_1=\left[ \begin{matrix}F&S \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}I_r\\O \end{matrix}\right]$
对A进行初等行变换 $\left[ \begin{matrix}A&I_3 \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}1&2&3&0 &.&1&0&0\\ 0&2&1&-1&. &0&1&0\\1&0&2&1&. &0&0&1\end{matrix}\right]$ 第三行加第二行减第一行 $\left[ \begin{matrix}1&2&3&0 &.&1&0&0\\ 0&2&1&-1&. &0&1&0\\0&0&0&0&. &-1&1&1\end{matrix}\right]$ 第一行减第二行 $\left[ \begin{matrix}1&0&2&1 &.&1&-1&0\\ 0&2&1&-1&. &0&1&0\\ 0&0&0&0&. &-1&1&1\end{matrix}\right]$
第二行乘1/2 $\left[ \begin{matrix} 1&0&2&1 &.&1&-1&0\\ 0&1&1/2&-1/2&. &0&1/2&0\\ 0&0&0&0&. &-1&1&1 \end{matrix}\right]$

由此我们可以得到 $G=\left[ \begin{matrix}1&0&2&1 \\ 0&1&1/2&-1/2 \end{matrix}\right],F=AP_1=\left[ \begin{matrix} 1&2&3&0 \\ 0&2&1&-1 \\ 1&0&2&1 \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}1&0 \\ 0&1\\0&0\\0&0 \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}1&2 \\ 0&2 \\1&0 \end{matrix}\right]$