深度学习基础之-1.3梯度下降

从自然现象中理解梯度下降

在绝大多数文章中，都以“一个人被困在山上，需要迅速下到谷底”来举例，这个人会“寻找当前所处位置最陡峭的地方向下走”。这个例子中忽略了安全因素，这个人不可能沿着最陡峭的方向走，要考虑坡度。

在自然界中，梯度下降的最好例子，就是泉水下山的过程：

1. 水受重力影响，会在当前位置，沿着最陡峭的方向流动，有时会形成瀑布（梯度下降）
2. 水流下山的路径不是唯一的，在同一个地点，有可能有多个位置具有同样的陡峭程度，而造成了分流（可以得到多个解）
3. 遇到坑洼地区，有可能形成湖泊，而终止下山过程（不能得到全局最优解，而是局部最优解）

梯度下降的数学理解

先抛开神经网络，损失函数，反向传播等内容，用数学概念理解一下梯度下降。

梯度下降的数学公式：

$\theta_{n+1} = \theta_{n} - \eta \cdot \nabla J(\theta) \tag{1}$θn+1​=θn​−η⋅∇J(θ)(1)

其中：

• $\theta_{n+1}$θn+1​：下一个值
• $\theta_n$θn​：当前值
• $-$−：梯度的反向
• $\eta$η：学习率或步长，控制每一步走的距离，不要太快以免错过了最佳景点，不要太慢以免时间太长
• $\nabla$∇：梯度，函数当前位置的最快上升点
• $J(\theta)$J(θ)：函数

梯度下降的三要素

• 当前点
• 方向
• 步长

为什么说是“梯度下降”？

“梯度下降”包含了两层含义：

• 梯度：函数当前位置的最快上升点
• 下降：与导数相反的方向，用数学语言描述就是那个减号。亦即与上升相反的方向运动，就是下降。
  

单变量函数的梯度下降

假设一个单变量函数：

$J(x) = x ^2$J(x)=x2

我们的目的是找到该函数的最小值，于是计算其微分：

$J'(x) = 2x$J′(x)=2x

假设初始位置为：

$x_0=1.2$x0​=1.2

假设学习率：

$\eta = 0.3$η=0.3

根据公式(1)，迭代公式：

$x_{n+1} = x_{n} - \eta \cdot \nabla J(x)= x_{n} - \eta \cdot 2x\tag{1}$xn+1​=xn​−η⋅∇J(x)=xn​−η⋅2x(1)

假设终止条件为J(x)<1e-2，迭代过程是：

x=0.480000, y=0.230400
x=0.192000, y=0.036864
x=0.076800, y=0.005898
x=0.030720, y=0.000944

上面的过程如下图所示：

双变量的梯度下降

假设一个双变量函数：

$J(x,y) = x^2 + \sin^2(y)$J(x,y)=x2+sin2(y)

我们的目的是找到该函数的最小值，于是计算其微分：

${\partial{J(x,y)} \over \partial{x}} = 2x$∂x∂J(x,y)​=2x ${\partial{J(x,y)} \over \partial{y}} = 2 \sin y \cos y$∂y∂J(x,y)​=2sinycosy

假设初始位置为：

$(x_0,y_0)=(3,1)$(x0​,y0​)=(3,1)

假设学习率：

$\eta = 0.1$η=0.1

根据公式(1)，迭代过程是的计算公式： $(x_{n+1},y_{n+1}) = (x_n,y_n) - \eta \cdot \nabla J(x,y)$(xn+1​,yn+1​)=(xn​,yn​)−η⋅∇J(x,y) $= (x_n,y_n) - \eta \cdot (2x,2 \cdot \sin y \cdot \cos y) \tag{1}$=(xn​,yn​)−η⋅(2x,2⋅siny⋅cosy)(1)

根据公式(1)，假设终止条件为$J(x,y)&lt;1e-2$J(x,y)<1e−2，迭代过程：

	x	y	J(x,y)
1	3	1	9.708073
2	2.4	0.909070	6.382415
3	1.92	0.812114	4.213103
…	…	…	…
15	0.105553	0.063481	0.015166
16	0.084442	0.050819	0.009711

迭代16次后，J(x,y)的值为0.009711，满足小于1e-2的条件，停止迭代。

上面的过程如下图所示，由于是双变量，所以需要用三维图来解释。请注意看那条隐隐的黑色线，表示梯度下降的过程，从红色的高地一直沿着坡度向下走，直到蓝色的洼地。

观察角度1	观察角度2

学习率η的选择

在code里，我们把学习率定义为learning_rate，或者eta，或者叫 $\alpha$α。 针对上面的例子，当初始值为-0.8，学习率为1时，迭代的情况很尴尬：不断在一条水平线上跳来跳去，永远也不能下降。

当学习率=0.8时，会有这种左右跳跃的情况发生，这不利于神经网络的训练。

当学习率=0.6时，也会有跳跃，幅度偏小。

当学习率=0.4时，损失值会从单侧下降，4步以后基本接近了理想值。

当学习率=0.2时，损失值会从单侧下降，但下降速度较慢，8步左右接近极值。

当学习率=0.1时，损失值会从单侧下降，但下降速度非常慢，10步了还没有到达理想状态。

https://github.com/microsoft/ai-edu/blob/master/B-教学案例与实践/B6-神经网络基本原理简明教程/02.3-梯度下降.md