参考：
上海交通大学mooc上数学之旅
百度文库ppt
注意：定义一个抽象概念：去限制它的属性
结构图：
文章目录
一、结构
线性结构：加法和数乘；
拓扑结构：距离、范数、开集
二、距离
距离的具体例子
点到点的距离
d3是折线距离和
d2是最大折线距离
函数的距离
其他距离
数学家之间的距离：合作发表文章数量多少
血缘关系的距离：
心灵距离：默契程度，爱好、看法是否一致，经历相似度
❀距离的定义：3个属性
（1）距离非负：距离为0的是同一点
（2）对称性
(3)三角不等式：直线最短
三、范数
❀范数定义：点到零点的距离
（1）非负
（2）齐次性
（3）三角不等式
范数的例子
情形3能不能取min？不行
对于点的距离来说，因为有xi为0的话距离就为0了，但其实两点不是同一点
对于函数的距离来说，有交点则距离最小是交点的距离0，但其实不是同一函数
范数和距离的关系
因为距离的定义没有齐次性那一条，所以距离不能定义范数！！！
四、距离空间（度量空间）
距离空间的例子
4.1 线性度量空间
具有线性结构的度量空间
五、赋范空间
完备性
大概理解：就是在空间中进行极限运算，取极限不能跑出去。
也就是有理数集不行，一定要到实数集
5.1 巴拿赫空间
完备的赋范空间称为巴拿赫空间
5.2 线性赋范空间
有线性结构的赋范空间
六、线性空间
❀线性空间定义
则称X为K上的线性空间
线性空间的例子
线性空间有限维与无限维
七、内积空间
赋范空间没有定义内积概念，所以引入内积定义。
内积的定义
❀内积空间定义（欧几里得空间）
7.1欧几里得空间
可以说酉空间是实数域上的一个线性内积空间
7.2酉空间
可以说酉空间是复数域上的一个线性内积空间
7.3希尔伯特空间
希尔伯特引入无穷实数组并定义内积，其空间称也为内积空间。
（之前我们定义的内积空间是有限维的，无穷维的内积空间也是内积空间）
再加上完备性，称为希尔伯特空间（无穷维）
再生核希尔伯特空间
八、拓扑空间
连续的概念不需要内积，甚至不需要距离
例如：
社交圈：大学同学、网球兴趣小组、亲戚
学号的指定是连续的——比如每一届学生是个圈子
这些圈子本身没有距离
连续的概念
O是一个邻域的概念
只要 f(x0的邻域）在 f(x0) 的邻域内就可以说是连续了
f是一个映射
拓扑的定义
τ是一个开集
τ是X上的一个拓扑
❀拓扑空间的定义
元素是X，规则是τ，τ是刚才的拓扑
拓扑是弱化了的距离~~~~~~