QR方法是Francis于1961年发表的用于求解所有特征值的算法呢。该算法对对称矩阵和非对称矩阵都适用，都可以分解成正交矩阵Ｑ和上三角矩阵Ｒ乘机的形式。但是在实际应用中，需要先进行相似变化在OR分解。其中，对于非对称矩阵，需要利用Hessenberg矩阵；而对于对称矩阵，需要利用三对角矩阵。如果再加上最后要讲的原点位移、降阶等技巧，整套算法会变得相当复杂。该方法是利用２个正交矩阵的乘机一定是正交矩阵，正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵，故QR分解是利用了上述特点，即对正交矩阵进行多次分解，相乘。
用QR方法求解矩阵特征值的基本流程：
（1）对需要求解的特征值得矩阵进行QR分解
（2）对分解出来的结果进行逆向相乘
（3）将相乘得到的矩阵进行QR分解
（4）对分解出来的结果进行逆向相乘
。。。。。
其中Q*Q^T=I，Q为正交矩阵，R为非奇异上三角矩阵。
Hessenberg矩阵
在上三角矩阵的基础上，若其对角线左下方的一条斜线不为0，则该方阵成为Hessenberg矩阵，也称海森伯格矩阵，如下图所示。
在Hessenberg矩阵进行迭代时，首先Hessenberg矩阵的左下角都为0，可知Hessenberg矩阵在进行对应元素相乘时，经过0元素相乘，使其对应位置的元素值为0。从而Hessenberg矩阵的次对角线元素的值逐渐趋向于0，也就能达到接近去上三角矩阵的形式。随着元素中0的个数逐渐增加，达到了QR分解的计算量得到了减少。
如果将矩阵转换为Hessenberg矩阵，则是Householder方法，接下来将介绍Householder方法。
Householder方法
该方法是利用镜像变化，将一般的非对称矩阵通过相似变换得到Householder方法。该方法是将空间中的任一点x，变换到与其关于经过原点的超平面的另一点x'，这样的变换称为镜像变换。
令经过原点的超平面的单位法向量为u，u为列向量，u^Tx是数。
变换后的x'为：
于是线性变换可以用：
步骤：
（1）对于矩阵转换为Hessenberg矩阵时，需要每一列计算一次，比如说第一列。
对于一个任意的列向量x，模为||x||=|α|对于标量α。如果算法是使用浮点型算法实现的，那么α应该得到与第k个坐标相反的符号x，x_k是变换后的上三角形式的坐标，其余为0。则，设置。
对于矢量e1=(1,0,...,0)^T，有
则
将第一列转换完之后，按照这样的思路去掉第一行以及第一列进行第二词的矩阵转换。最后将完成整体H的转换。
例子
（1）Householder方法
首先，需要转换矩阵A的第一列向量a1=（12，6，-4）^T，则有
通过Q_1A可知第一列已经满足了我们的需求，结果如下所示。
采取上述方法进行第二次的转换，转换矩阵为：
由于第一次已经计算过了，所以Q2需要把第一次计算的向量也加进去，得到了最终的Q2
则Q为
R为
（2）gram-schmidt方法
参考
https://wenku.baidu.com/view/ce6de5f2a32d7375a5178015.html
https://en.wikipedia.org/wiki/QR_decomposition