利用经纬度求解两点球面距离(Haversine formula)

$h(\theta)=sin^2(\frac{\theta}{2})=\frac{1-cos(\theta)}{2}$

则 $h(\theta)=h(\frac{d}{R})=h(\Delta \beta)+cos(\beta_1)cos(\beta_2)h(\Delta \alpha)$

$R表示球面半径,d表示球面距离,\theta表示两点与圆心夹角弧度$
$\alpha_i分别表示两点经度,\beta_i表示两点维度,\Delta表示差值$
公式全称应该为 $half-versine$ ,即 $versine: 1-cos(\theta)的一半$
计算时可进一步化解： $cos(\theta)=sin(\beta_1)sin(\beta_2)+cos(\beta_1)cos(\beta_2)cos(\Delta \alpha)$

这里求 $\overset{\frown}{AB}$ ，显然求得 $|AB|$ 即可

以 $OEF$ 为例， $\angle OEF=\Delta \alpha,|EF|=2sin(\frac{\Delta \alpha}{2})$ R，同理利用维度 $|AC|=2sin(\frac{\Delta \beta}{2})R$

而对于 $|BC|,|AD|$ 作 $AG\perp OE,BH \perp OE$ 可得： $|AD|=2sin(\frac{\Delta \alpha}{2})(|OE|cos(\angle AOG))=2sin(\frac{\Delta \alpha}{2})Rcos(\beta_1)$

而四边形 $ACBD$ 为等腰梯形形

$CH=\frac{BC-AD}{2},AB^2=BH^2+AH^2=(BC-CH)^2+AC^2-CH^2=AC^2+BC*AD$

$|AB|^2=4sin^2(\frac{\Delta \beta}{2})R^2+4sin^2(\frac{\Delta \alpha}{2})cos(\beta_1)cos(\beta_2)R^2$

而要求解的 $\theta=\angle AOB,|AB|^2=4sin^2(\frac{\theta}{2})R^2$

得到目标公式 $h(\theta)=h(\Delta \beta)+cos(\beta_1)cos(\beta_2)h(\Delta \alpha),\overset{\frown}{AB}=d=R\theta$

进一步化解 $1-cos(\theta)=1-cos(\Delta\beta) +cos(\beta_1)cos(\beta_2)(1-cos(\Delta \alpha))$

$cos(\Delta \beta)=cos(\beta_1)cos(\beta_2)+sin(\beta_1)sin(\beta_2)$

可得 $cos(\theta)=sin(\beta_1)sin(\beta_2)+cos(\beta_1)cos(\beta_2)cos(\Delta \alpha)$