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线段树从零开始
一：为什么需要线段树？
题目一：
10000个正整数，编号从1到10000，用A[1],A[2]……A[10000]表示。
修改：无
统计：编号从L到R的所有数之和为多少？其中1<=L<=R<=10000.
方法一：对于统计L，R，需要求下标从L到R的所有数的和，从L到R的所有下标记作[L……R],
问题就是对A[l……R]进行求和。
方法二：更快的方法是 求前缀和，令S[0]=0,S[k]=A[1……k],那么，A[L……R]的和就等于S[R]-S[L-1],
这样，对于每个询问，就只做一次减法，大大提高效率。
题目二：
10000个正整数，编号从1到10000，用A[1],A[2]……A[10000]表示。
修改：将第L个数增加C（1<=L<=10000)
统计：编号从L到R的所有数之和为多少？
其中1<=L<=R<=10000
再使用方法二的话，假如A[L]+=C之后，S[L],S[L+1]……S[R]都需要增加C，全部都要修改，
见下表：
| 方法一 | 方法二 | |
| A[L]+=C | 修改一个元素 | 修改R-L+1个元素 |
| 求和A[L……R] | 计算R-L+1个元素之和 | 计算两个元素之差 |
从上表可以看出，方法一修改快，求和慢。方法二求和快，修改慢。
那有没有一种结构，修改和求和都比较快那？ 线段树
二：线段树点的修改
上面的问题二就是典型的线段树点的修改。
线段树先将区间[1……10000]分成不超过4*10000个子区间，对于每个子区间，记录一段连续数字的和。
之后，任意给定区间[L,R]，线段树在上述子区间中选择约2*log(R-L+1)个拼成区间[L,R]。的子区间中，约有
如果A[L]+=C,线段树的子区间中，约有log2(10000)个包含了L，所以需要修改log2(10000)个。
使用线段树的话，A[L]+=C需要修改log2(10000)个元素。求和A[L……R]需要修改2*log2(R-L+1）<=2*log2(10000)个元素。
log2(10000)<14所以相对来说，线段树的修改和求和都比较快。
问题一：开始的子区间是怎么分的？
首先，讲解原始子区间的分解。
假定给定区间[L,R],只要L<R,线段树就会把它继续分裂成两个区间。首先计算M=（L+R）/2，左子区间为[L,M],右子区间为[M+1,R],然后如果子区间不满足条件就递归分解。
以区间[1……13]的分解为例，分解结果见下图：
问题二：给定区间[L,R]，如何分解成上述给定的区间？
对于给定区间[2,12]要如何分解成上述空间那？
分解方法一：自下向上合并——利于理解
先考虑树的最下层，将所有在区间[2,12]内的点选中。然后，若与相邻点的结点为同一父节点，那么就用这个父节点代替这两个结点（父节点在上一层）。这样操作之后，本层最多剩下两个节点。若最左侧被选中的节点是他父节点的右子树，那么这节点会被剩下。若最右侧被选中的节点是他父节点的左子树，那么这个节点也会被剩下。中间所有的节点都被父节点取代。
对最下层处理完之后，考虑它的上一层，继续进行同样的处理。
下图为n=13的线段树，区间[2,12]，按照上面的叙述进行操作的过程图：
由图可以看出：n=13的线段树中 ,2,12]=[2] + [3,4] + [5,7] + [8,10] + [11,12] 。
分解方法二：自上而下分解——利于计算
首先，对于区间[1,13]，计算(1+13)/2=7,于是将区间[2,12]切割成了[2,7]和[8,12]。
其中，[2,7]处于节点[1,7]的位置，[2,7]<[1,7]所以继续分解，计算(1+7)/2=4，于是将[2,7]切割成 [2,4]和[5,7]。
[5,7]处于结点[5,7]的位置，所以不用继续分解。[2,4]处于区间[1,4]的位置，所以接续分解成[2]和[3,4] .
最后，[2]<[1,2]，所以计算（1+2）/2=1，将[2]用1切割，左侧为空，右侧 为[2]。
上图只表示计算方法，不代表计算顺序。 因为程序是递归计算的，而不是一层一层计算。
问题三：如何计算区间统计？
假设这13个数为1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，1。在区间之后标上该区间的数字之和：
如果要计算[,12]的和，按照之前的算法：
[2,12]=[2]+[3,4]+[5,7]+[8,10]+[11,12]
29=2+7+6+7+7
计算5个数的和就可以算出[2,12]的值。
问题四：如何进行点修改？
假设把A[6]+=7，看看那些区间需要进行修改？[6],[5,6],[5,7],[1,7],[1,13]这些区间全部都需要+7，其余所有的区间都不需要动。
于是，这颗线段树中，点修改最多修改5个线段树元素（每层一个）。
下图中，修改后的元素用蓝色表示。
问题五：存储结构是怎样的？
线段树是一种二叉树，当然可以像一般的树那样写成结构体，指针什么的。但是它的优点是，它也可以用数组来实现树形结构，可以大大简化代码。
数组形式适合在编程竞赛中使用，在已经知道线段树的最大规模的情况下，直接开足够空间的数组，然后在上面建立线段树。
简单的记法：足够的空间=数组大小n的四倍
实际上足够的空间=（n向上扩充到最近的2的某个次方）的两倍。
举例子：假设数组长度为5，就需要5先扩充成8，8*2=16。线段树需要16个元素。如果数组元素为8，那么也需要16个元素。
所以线段树需要的空间是n的两倍到四倍之间的某个数，一般就开4*n的空间就好，如果空间不够，可以自己算好最大值来省点空间。
怎么用数组来表示一棵二叉树那？假设某个节点的编号为pos，那么它的左子节点编号为2*pos，右子节点编号为2*pos+1。然后规定根节点为1，这样一颗二叉树就构造完成了。通常2*pos在代码中写成pos<<1。2*pos+1写成pos<<1|1。
问题六：代码中如何实现？
(1)定义：
#define maxn 100007//元素总个数
int sum[maxn<<2];//sum求和，开四倍空间
int A[maxn],n;//存原数组下标[1，n]
#define lson pos<<1 //代表左子树
#define rson pos<<1|1 //代表右子树
（2）建树：
void build(int pos,int l,int r)
{
if(l==r)//到达叶子节点
{
sum[pos]=A[l];//存储A数组的值
return；//一定要有这个return
}
int mid=(l+r)/2;
//左右递归
build(lson,l,r);
build(rson,l,r);
sum[pos] = sum[lson] + sum[rson];
}
（3）点修改
假设A[L]+=C:
void update(int pos,int L,int C,int l,int r)//[l,r]表示当前区间，pos是当前节点编号
{
if(l==r)//到达叶子节点，修改叶节点的值
{
sum[pos]+=C;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
//根据条件判断往左子树调用还是往右子树
if(L<=mid) update(L,C,l,mid,lson);
else update(L,C,mid+1,r,rson);
sum[pos]=sum[lson]+sum[rson];
}点修改其实可以写的更简单，只需要把一路经过的sum都+=C就行了，不过上面的代码 更加规范，在题目更加复杂的时候，按照格式写更不容易出错。
（4）区间查询（本题为求和）
询问A[L……R]的和。
注意到，整个函数的递归过程中，L，R是不变的。
首先，如果当前区间[l,r]在[L，R]内部，就直接累加答案；如果左子区间与[L,R]有重叠就递归左子树，右子树同理。
int Query(int pos,int L,int R,int l,int r)
//[L,R]表示操作区间，[l,r]表示当前区间,pos当前节点编号
{
if(L>=l&&r>=R)//在区间内直接返回 [L,R]在[l,r]内部
{
return sum[pos];
}
int mid=(l+r)/2;
//左子区间[l:mid],右子区间[mid+1,r],求和区间[L,R]
//累加答案
int ans=0;
if(L<=mid)
ans+=Query(lson,L,R,l,mid);//左子区间与[L,R]有重叠，递归
if(R>mid)
ans+=Query(rson,L,R,mid+1,r);//右子区间为与[L,R]有重叠，递归
return ans;
}