对称和反对称矩阵

特征值分解

• 如果A$A$是一个实对称矩阵，那么A$A$可以分解为A=UDUT$A=UD{U}^T$，其中U$U$是正交矩阵，D$D$是实对角矩阵，因此一个实对称矩阵有实特征值，其特征向量两两正交

实对称矩阵的其他性质：

可通过Jacobi方法求实对称矩阵的特征值和特征向量

叉乘

a=(a1,a2,a3)T,  [a]×=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3{)}^T,[\mathbf{a}{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]$$

a×b=[a]×b$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=[\mathbf{a}{]}_{\times }\mathbf{b}$$

余因子和伴随矩阵

令M$M$是一个方阵，用M∗$M^{\ast }$表示M$M$的余因子矩阵，则M∗ij=(−1)i+jdetM^ij$M_{ij}^{\ast }=(-1{)}^{i+j}det{\hat{M}}_{ij}$，其中M^ij${\hat{M}}_{ij}$是把M$M$的第i$i$行和第j$j$列所得到的矩阵。余因子矩阵M∗$M^{\ast }$的转置称为M$M$的伴随矩阵，记为adj(M)$adj(M)$。
有

Madj(M)=adj(M)M=det(M)I$$Madj(M)=adj(M)M=det(M)I$$

正定对称矩阵

• 对称矩阵A$A$正定⟺xTAx>0$⟺{\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0$恒成立
• 正定对称矩阵A$A$可以唯一地分解为A=KKT$A=K{K}^T$，K$K$是对角元素全为正的上三角实矩阵