【QBXT】学习笔记——Day9数学

今天要讲数学，莫名慌张TAT。
一看目录确实是很难很难啊。

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Day 9 1.23AM

先开始讲了极限，这一部分的内容在高等数学上就有，在此不多讲。
写一些OI中会”常用“的结论？？
lim+∞(1+1n)n=lim+∞(1−1n)n=e
lim0sinxx=lim0tanxx=1
lim+∞n−−√n=1
lim0arctanxx=lim0ex−1x=1
等价无穷小
limx→x0f(x)g(x)=1
等价无穷大
limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=∞
这二者是对偶的。

高阶小量，一般用于分析时间复杂度，是在极限下的定义。
如果在OI里算时间复杂度可能会有一些误差，卡常什么的。

割线：取函数图象上两个点形成的直线。
切线：作割线的两个点无穷近时形成的直线。
切线的定义就是一个函数的导数。

导数的基本公式我也不写了，看高等数学就行了。
可以写一些有趣的导数：
(xx)′=(exlnx)′=(exlnx)(lnx+1)=xx(lnx+1)

洛必达法则：
x→x0,f(x),g(x)→0,且x→x0,f′(x)g′(x)=A
则x→x0f(x)g(x)=f′(x)g′(x)=A

话说求导也不能一直求下去的233
老师说导着导着就导炸了0.0

开根：
给出实数y和整数k,|y|<100，试求y的k次方根，y最多两位小数。
我们可以二分，三分，牛顿迭代。注意精度与收敛速度要作权衡。
三分要求严格凸。
牛顿迭代：一个类似x2−A的下凸函数，找一个较远点作切线，交x轴于x0然后垂直x轴作直线，找到函数在x0上的点继续作切线，如此往复。这样逼近的点就是函数与x轴的焦点，即y=0的位置，收敛了。
这个收敛的速度是很快的。当然不同情况下收敛速度不同。还依赖于初始选择点。
比如这题，如果这个A比较大时，我们刚刚开始选择的点的切线斜率十分大，这样子的话一开始迈的步子会很小，就会迭代很多次。
那么我们要解决这个问题就要在精度和收敛速度中作权衡，我们可以这样：

A - - \sqrt k = 1 1 A - - \sqrt k

然后就跑的飞快。

牛顿迭代可以用来做最大权闭合子图。实际上各种二分也是可以用牛顿迭代替代，是很快很快的。然而只是适用于下凸函数。

平面上两条不相交线段AB和CD，蚂蚁在AB上的移动速度为v1，在CD上移动的速度为v2在其他平面速度为v3求A到D的最短时间。
大概是：
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这题我们观察到，如果左边的点确定了，那么对于选取右边的点，是一个单峰函数。同样我们左边点的选取也是一个单峰函数。两个凸我们可以用三分套三分做。

接下来是一些我不是很会的东西，贴图片。
我们发现常数项的导数是0，因此我们可以随意添加常数项，所以求导的逆运算对应一组函数。（仅仅一组0.0）
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对于上面的定积分的直观看法就是一个区间[a,b]函数的面积，积分是有向的0.0
这个东西就叫牛顿-莱布尼茨公式

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这些应用真是令人绝望XD

这里补一些上课写在草稿本上关于积分的东西。
积分公式：

\int f (x) d x = F (x) + C

其中F(x)′=f(x)
先写一个简单的积分：

\int b a x 2 d x = F (b) - F (a) = 13 (b 3 - a 3)

Simpson积分：计算二次函数的一类积分，形如：

\int R L (a x 2 + b x + c) d x

这个东西可以用来计算重心233

然后讲了分部积分法则，
设u=u(x)和v=v(x)是两个关于x的函数且各自具有连续导数，则：

d (u v) = u d v + v d u 或 者 u d v = d (u v) - v d u

对两边积分，我们可以得到：

\int u d v = u v - \int v d u

如果将dv和du用微分形式写出，也可以得到：

\int u v' d x = u v - \int u' v d x

举个栗子吧

\int b a e 2 x d x = \int b a x d 12 e 2 x = x 12 e 2 x - \int b a 12 e 2 x d x = x 12 e 2 x - 14 e 2 x

这题十分厉害0.0，首先我们肯定可以想到将离散型和连续型分开处理。
那么离散性就是一个常用的斜率优化dp，但也是十分的难。
连续型的想法是贪心吃最大ti，一直到次大，然后合并。
计算的时候运用了微元的思想。
是下面这个样子的：
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接下来是多元函数与偏导数。
多元函数：形如f(x,y,z)=x2y+zx+cos(yz)的函数（即有三个变元）
偏导数：对于多元函数的每一个变元进行求导，将其他变元看作常数。
比如上面这个函数我们我们对x求导有：

\partial f \partial x = 2 x y + z x l n z

函数的极值
一元函数：f′(x)=0
多元函数：∂f(x)∂xi=0，意思是在各个方向都是0.

注意：以上求解所得为驻点，是否为极值点（甚至最值点）要另行判断。
并非所有函数可导，以及会存在有瑕点的函数，遇到时不可盲目套用公式。
~~然而就是盲目套用公式~~

传说中的简单题：
实现三种操作：
1.在平面加入一条直线
2.删除一条已有直线
3.求一个点到平面所有之间的距离平方和最小，并输出
n<=105
很容易求出(x,y)到直线ax+by+c的距离的平方：

(a x + b y + c) 2 a 2 + b 2

问题相当于求函数极值

f (x, y) = A x 2 + B y 2 + C x y + D x + E y + F

我们动态维护A,B,C,D,E,F
就是暴力维护偏导数，这个动态维护并(shi)不(fen)可怕。就是维护下面两个方程。

\partial f \partial x = \partial f \partial y = 2 A x + C y + D 2 B y + C x + E

线性回归——最小二乘法
给出平面上n个点，求最小均方误差线性拟合直线。n<=105
y=ax+b⇒mina,b∑(yi−axi−b)2
a=lxylxx,b=y¯−ax¯
lxy=∑n1(xi−x¯)(yi−y¯)
lxx=∑n1(xi−x¯)2

接下来是拉格朗日乘数法：
求解多元函数的最优值（最大化或最小化）f(x)1,x2⋯，xn)
并满足约束条件gi(x1,x2⋯，xn)=0,i=1,2,…,m

基本解法：
定义

= h (x 1, x 2, \dots, x n, λ 1, λ 2, \dots, λ m) f (x 1, x 2, \dots, x n) + \sum λ i g i (x 1, x 2, \dots, x n)

求解h的极值
其中对λ求偏导就是gi

例子：有多项式

f = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2

要求满足约束

{x + y + z - 1 = 0 100 x y z - 1 = 0

那么我们有偏导函数

H (x, y, z, λ, μ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + λ (100 x y z - 1) + μ (x + y + z - 1)

那么

\partial H \partial λ = 100 x y z - 1 = 0 \partial H \partial μ = x + y + z - 1 = 0 \partial H \partial x = 2 x + μ + 100 λ y z \partial H \partial y = 4 y + μ + 100 λ x z \partial H \partial z = 6 z + μ + 100 λ x y

大概就是这样。

NOI2012骑行川藏：
有n段路，每段路长si，并有参数ki,vi，该人在每段路上匀速骑车。若骑车速度为vi，则阻力为F=ki(v−vi)2设初始能量为E，求到达目的地的最短时间。
n<104,E<108,si<105,0<ki<1,−100<vi<100
有一个贪心的想法，如果有能量肯定是跑快一点。
所以可以写出一些带等号的约束。
拉格朗日乘数法，就可以了。~~虽然我不会~~
这个的公式就不写了！
当然不一定要用拉格朗日乘数法，也可以用其它的神奇方法，当然我不会

然后是泰勒展开：
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NOI2005反正切函数的应用
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总的来说这个东西的作用就是：
万一你流落荒岛，无聊时算个π打发时光

Day9 1.23PM

51Nod多项式
n次多项式f，f(i)=ii+1，i=0,1,2,…,n，现在试问对于f(n+1)是否唯一确定。
若确定，输出f(n+1)（如果为整数直接输出；如果是分数pq且p和q互质，则输出pqmod(109+7)；否则输出至小数点后6位）
若不确定输出No。
n<=1015

这题就是拉格朗日插值法：
这个方法的思路是构造出一个式子来表示f，然后对于每个点，构造出只在这个点有值为1，而其他点值为0的一个函数，将这些函数组合起来就是f。
这个东西和CRT的构造有点像。
由此也可以知道n次多项式可由n+1个不同点的取值唯一确定
所以我们有拉格朗日插值法的核心公式：

f (x) = \sum i = 1 n + 1 y i Π k \neq i (x - x k) Π k \neq i (x i - x k)

这个题怎么做呢？由于不想打公式了，就不做了。

讲到最难的了0 0概率与期望。先给出一些定义吧：
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注意连续型是用一个概率函数表示的，一定有一个取值范围的询问。例如不能说取值为y的概率，而要说取值为x~y的概率。

P(AB)的意思是事件AB同时发生的概率，要求AB不相关。
于是有全概率公式：

P (A) = \sum P (A B i)

P(A|B)的意思是事件B发生时A发生的概率，
然后有全期望公式：

E (A) = E (E (A | B))

推导过程是这样的（这里倒着推）：

(E (X | Y)) = E (X) \Rightarrow \sum i E (X | Y = y i) P (Y = y i) \Rightarrow \sum i [\sum k x k P (X = x k | Y = y i)] P (Y = y i) \Rightarrow \sum i \sum k x k P (X = x k, Y = y i) \Rightarrow \sum k x k \sum i P (X = x k, Y = y i) \Rightarrow \sum k x k P k

上面是离散型证明，连续型的证明更长了，我决定拍照，毕竟手推的。
~~上传好慢，我强行降低画质才传上来的~~
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P(A,B)表示AB同时发生的概率，AB不独立

然后知道这些我们还可以推导出Bayes公式：

P (A, B) = P (A) \times P (B | A) = P (B) \times P (A | B) P (B | A) = P (B) \times P (A | B) P (A)

在“学”了这些东西以后我们来看看下面的题目。
ZJOI2015地震后的幻想乡
n个点m条边的简单连通无向图，每条边是[0,1]间的随机数，问最小生成树最大边的边权的期望(n<11)
~~老师有毒，怎么一下子就做WJMZBMR神题~~
看数据范围显然是一个搜索或者装压dp之类的问题，这里肯定是状压。
但是知道这个东西并没有用

考虑最小生成树的定义，一定存在一个权x，使得如果不用大于等于这个值的边的话，这幅图不连通。那么我们就有一点奇奇怪怪的转化。
E(MSTe)=∫10P(MSTe>=x)，这里积分表示MST中的边大于等于x的概率
P(MSTe>=x)=1−P(用小于x的边图S连通)=P(用小于x的边图S不连通)
左边的意思是MST上最大边权大于等于x的概率。

现在我们要求P(用小于x的边图S不连通)
那么我们任意固定一个点u，小于x的边不能使S连通，等价于小于x的边使包含u的某个连通子图S′与S−S‘的点不连通。
这样若S′与S−S‘之间有k条边，我们计算一下概率。
=∑P(用小于x的边图S′连通)∗(1−x)k
我们现在要算P(用小于x的边图S‘连通)
所以我们要在这里枚举一个S′，状压dp搞一下。

这个做法的方程是一个多项式TAT，好像很难写，我们去%一下rqy可以得到新的做法：直接看blog吧

地震后的幻想乡+~~（出题人有毒！）~~
n个点m条边的简单连通无向图，每条边权是[0,3√3]的随机数，服从分布f(x)=x2问最小生成树最大边的边权的期望。
其实和上一题是一样的233。

简单题
一个机器人在N×M的方阵第s行t列，每次会随机选择不动/向左/向右/向下四种方案（不能越界），求它走到最后一行的概率。n,m<1000

因为每一行只跟这一行和下一行有关，所以这个方程并不是很多。
然后我们自下而上递推的时候，下面那一行总是已经处理完的
记E[i][j]表示从(i,j)走到最后一行的期望步数，倒序求解。
首先E[n][j]=0，
那么E[i][j]=14(E[i][j−1]+E[i][j+1]+E[i][j]+E[i+1][j]])+1

上面是高斯消元，但如果直接消元是O(n3)，
冷静分析一下：
设E[i][1]=x=13(E[i][2]+E[i+1][1]+x)+1
∴E[i][2]=ax+b=14(x+E[i][3]+ax+b+E[i+1][2])+1
∴E[i][3]=a′x+b′

所以：
E[i][j]−>E[i][j+1]
E[i][m−1]−>E[i][m]=a′′x+b′′=13(a′′x+b′′+E[i+1][m]+E[i][m−1])+1

然后我们通过解这最后一个方程，再逆推回去就可以搞定了。
这样复杂度是O(n2)的了。
这是一个有限状态马尔可夫链 ~~(有限状态自动机)~~

自动机：(kengkengkengkeng)
自动机(OI中一般考虑)
E(x)表示从x到终点的期望步数。
自动机上的期望dp一般都是倒着做的。

吃鱼
一个池塘有n条鱼，每天随机会有两条鱼i,j相遇，i吃掉j的概率为Aij，￥j吃掉i的概率为1-A_{ij}，分别求出每条鱼存活到最后的概率。n<19$
状压dp+暴力转移即可。
状压一下每次存在鱼的集合就可以了。

这题也是一个自动机哦，是一个DAG

奇怪的实验
地上有无数条彼此平行，且间距为w的直线，小明总是在投掷一枚长度为L的针，求扔k次针，针碰到线的数学期望。
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BZOJ4109 WF2015-Cutting Cheese（权限题）
一个边长为100的实心立方体中挖去n个不相交的求，要求将整个立方体沿水平方向切s−1刀，使分出的s块体积相等，求这s块分别的厚度。n<=10000,s<=100

二分答案，由于球互不相交所以体积很好算，不完整的球体积用定积分可以推出公式，完整的用球的体积公式。
球缺公式：π(3r−h)h23

取数问题CF364D Ghd
给出数列An，试求出一个最大的正整数，使它整除至少一半Ak。n<=105,Ak<=107
考虑枚举一个存在于最终答案的集合内的数x，这样子，可行的gcd的范围就变成了x的因子个数，在10^12以内，最多的因子个数只有6000多个。
对于其他元素，我们关注的只有它们和当前枚举的数x的gcd了。所以可以O(nlogC)地求出来。同时，我们可以记录cnt[i]表示和x的gcd为i的有多少个。显然只有6000级别个的cnt不会为0，我们可以非常轻松地记录下来。

现在我们直接枚举一下最终的答案是多少，只需要统计有多少个数含有这个因子即可。明显复杂度可以做到6000^2。

所以假如我们枚举了一个x，现在的复杂度是O(sqrt1012+nlogC+60002)，看起来还是可以接受的。假如我们随机到的位置存在于最优解中，那么我们一定能够得出最优解。注意到我们随机一个位置有12的概率存在于最优解中。多随机几次即可。

醉醺醺的幻想乡
来自WJMZBMR的又一道神题
听说没有题解
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~~这个东西的精度写错了，应该是1e-5的。~~

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然后今天真的很烧脑啊，也不讲太多了，可以溜了0.0
去刷一些之前的题目。