【引言】
在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。
可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。
当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。
因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。
【理论】
为了对树状数组有个形象的认识，我们先看下面这张图。
如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是我们所维护的树状数组。
该图像的特征：构成了一个以C[8]为根结点，其他C[m]、A[n]为子结点的树。
对于数组A[]下标为奇数时，其上都仅仅只有一个C[]元素，即C[1] = A[1]、C[3] = A[3]、C[5] = A[5]等等
对于数组A[]下标为偶数时，这是一系列A[i]的和。
C[1] = A[1];C[1]的管辖范围为1
C[2] = A[2] + A[1] ;C[2]的管辖范围为2
C[3] = A[3];C[3]的管辖范围为1
C[4] = A[4] + A[3] + A[2] + A[1] ;C[4]的管辖范围为4
C[5] = A[5];C[5]的管辖范围为1
C[6] = A[6] + A[5] ;C[6]的管辖范围为2
C[7] = A[7];C[7]的管辖范围为1
C[8] = A[8] + A[7] + A[6] + A[5] + A[4] + A[3] + A[2] + A[1] ;C[8]的管辖范围为8
由上可得(S[]由C[]来表示)：
S[1] = C[1]
S[2] = C[2]
S[3] = C[3] + C[2]
S[4] = C[4]
S[5] = C[5] + C[4]
S[6] = C[6] + C[4]
S[7] = C[7] + C[6] + C[4]
S[8] = C[8]
由上可得：S[i]表示为i之前所有最大子树的跟结点C[]的和
上面所说的管辖范围就是下面列出来的2^k所表示的数
| i | 二进制 |
2^k(k位i的二进制的末尾0的个数) |
| 1 | 01 | 1 |
| 2 | 10 | 2 |
| 3 | 11 | 1 |
| 4 | 100 | 4 |
| 5 | 101 | 1 |
| 6 | 110 | 2 |
| 7 | 111 | 1 |
| 8 | 1000 | 8 |
2^k的求法：i 的二进制去掉所有高位的1，只保留最低位的1，如果只存在一个最高位的1，则 2^k 就是它本身。
对于C[i]如何求得他的父节点？
由上表格推断，C[i]的父节点为C[i+2^k]，也就是说将 i 的二进制的最末尾的1去掉，相邻的高位+1
由上：
C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数。利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) 也就是i&(-i)，所以C[i]的父节点为C[i + i & (-i)]。
这个k(i的末尾0的个数)就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。所以,当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。
对于求数列的前n项和S[i]，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C[]加起来即可。
不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数。因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。
【代码】
求最小幂2^k:int Lowbit(int t)
{
return t & (-t);
} int Sum(int end)
{
int sum = 0;
while(end > 0)
{
sum += in[end];
end -= Lowbit(end);
}
return sum;
} void plus(int pos , int num)
{
while(pos <= n)
{
in[pos] += num;
pos += Lowbit(pos);
}
} 参考：
http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868
http://www.hawstein.com/posts/binary-indexed-trees.html
https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/binary-indexed-trees/