旋转的左乘与右乘

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引言

如果不明确旋转的定义和物理意义，那么本篇文章是没有意义的。本人曾在一本书籍上见到关于绕z轴旋转θ角的两种不同的旋转表示，也了解旋转在不同领域，甚至同一领域的不同应用场景都有不同的物理意义。
旋转的表示有很多种：旋转矩阵，欧拉角，四元数，轴角，李群与李代数。
旋转的应用场景也有很多种：惯性导航，机器人学（机械臂运动学，无人机姿态估计，SLAM等）。
本文将以旋转矩阵为载体，说明旋转（旋转矩阵）左乘与右乘的不同情况。

本文背景

我们首先给出绕x，y，z轴旋转的旋转矩阵表示：
$\boldsymbol{R}_{x}(\theta)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$Rx​(θ)=⎣⎡​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​⎦⎤​
$\boldsymbol{R}_{y}(\gamma)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \gamma & 0 & \sin \gamma \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \gamma & 0 & \cos \gamma \end{array}\right]$Ry​(γ)=⎣⎡​cosγ0−sinγ​010​sinγ0cosγ​⎦⎤​
$\boldsymbol{R}_{z}(\alpha)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$Rz​(α)=⎣⎡​cosαsinα0​−sinαcosα0​001​⎦⎤​
其中，旋转角的正方向由右手螺旋定则给定。注意，绕Y轴旋转的旋转矩阵，-sin在下方。
其实，关于上面三个矩阵，不同书，不同库函数（甚至matlab的不同函数，makehgtform与angle2dcm）都不尽相同，我们之所以如此规定，是出于其物理意义。

以z轴旋转为例：

第一种物理意义，坐标系的旋转，其应用场景有SLAM，机械臂运动学等。

如上图所示，$P$P点不变，坐标系$O-x y z$O−xyz 旋转 $\alpha$α,得到新的坐标系$O-x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$O−x′y′z′，在新坐标系下，$P$P点的坐标变为$P^{\prime}$P′，则有：
$P=\boldsymbol{R}_{z}(\alpha) P^{\prime}$P=Rz​(α)P′

第二种物理意义，向量的旋转，其应用场景有机器人的姿态估计等。

如上图所示，坐标系 $O-x y z$O−xyz不变，$P^{\prime}$P′ 点旋转 $\alpha$α,得到新的点 $P$P（我也想反过来，但用的教材上的图，没办法），则有：
$P=\boldsymbol{R}_{z}(\alpha) P^{\prime}$P=Rz​(α)P′
没错，对比上面两个式子，这种旋转矩阵的规定，使得这两种物理意义是不冲突的，因此，我们选用上述的旋转矩阵规定。

坐标系旋转中的右乘——相对于自身坐标系旋转

为了简化，我们并不以绕x，y，z轴旋转表示旋转矩阵。记坐标系0,1,2。坐标系1相对于坐标系0的旋转矩阵，记为$R_1^0$R10​,；坐标系2相对于坐标系1的旋转矩阵，记为$R_2^1$R21​；坐标系2相对于坐标系0的旋转矩阵，记为$R_2^0$R20​。点p在坐标系0,1,2中的坐标分别为$p^0, p^1, p^2$p0,p1,p2。
其中，相对于哪个坐标系旋转，就是绕哪个坐标系的轴旋转。则根据上小节，第一个物理意义，有以下关系式：
$p^{1}=R_{2}^{1} p^{2} \tag{1}$p1=R21​p2(1)
$p^{0}=R_{1}^{0} p^{1} \tag{2}$p0=R10​p1(2)
$p^{0}=R_{2}^{0} p^{2} \tag{3}$p0=R20​p2(3)
由上述1,2,3式可得：
$\boldsymbol{R}_{2}^{0}=\boldsymbol{R}_{1}^{0} \boldsymbol{R}_{2}^{1} \tag{4}$R20​=R10​R21​(4)
即证明了相对自身坐标系下，旋转矩阵按顺序右乘。

坐标系旋转中的左乘——相对于固定坐标系旋转

在推导像4式那样的关系之前，我们先推导同一个旋转在不同坐标系下有什么关系。假设0系坐标系下有两点$M, N$M,N，其在1系的坐标 $\bar M, \bar N$Mˉ,Nˉ，类比上述的符号定义，则有以下关系式：
$M = R_{n}^{m} N \tag{5}$M=Rnm​N(5)
$\bar M=\bar R_{n}^{m} \bar N \tag{6}$Mˉ=Rˉnm​Nˉ(6)
$M = R_{1}^{0} \bar M \tag{7}$M=R10​Mˉ(7)
$N = R_{1}^{0} \bar N \tag{8}$N=R10​Nˉ(8)
将7,8式代入5式得，
$R_{1}^{0} \bar M = R_{n}^{m} R_{1}^{0} \bar N \tag{9}$R10​Mˉ=Rnm​R10​Nˉ(9)
由9式即可得到我们想要的关系式，
$R_{n}^{m} = R_{1}^{0} \bar R_{n}^{m} R_{0}^{1} \tag{10}$Rnm​=R10​Rˉnm​R01​(10)

好了有了上面的结论，我们开始进入正文。记坐标系0,1,2（上面说的0,1系只是为了表述两个不同的坐标系，与这里的不同），其中记固定坐标系为0系。另外，因为旋转是个“事实”，旋转矩阵只不过是描述这个“事实”的工具，因此我们如下表述：坐标系1相对于坐标系0的旋转，在固定坐标系下的旋转矩阵，记为 $\bar R_1^0$Rˉ10​；坐标系2相对于坐标系1的旋转矩阵，在固定坐标系下的旋转，记为 $\bar R_2^1$Rˉ21​；坐标系2相对于坐标系0的旋转，在固定坐标系下的旋转矩阵，记为 $\bar R_2^0$Rˉ20​。

由公式10及0系为固定坐标系的定义可知，
$\bar R_1^0 = R_1^0 \tag{11}$Rˉ10​=R10​(11)
$\bar R_2^0 = R_2^0 \tag{12}$Rˉ20​=R20​(12)
$\bar R_2^1 = R_{1}^{0} R_2^1 R_{0}^{1} \tag{13}$Rˉ21​=R10​R21​R01​(13)
为了读者理解，特此对公式13进行解释，此时的$R_2^1$R21​是相对于1系的旋转，就相当于 $\bar R_{n}^{m}$Rˉnm​, $\bar R_2^1$Rˉ21​是相对于固定坐标系（0系）的旋转，就相当于 $R_{n}^{m}$Rnm​，而1系相对于0系的旋转矩阵为$R_{1}^{0}$R10​。

将公式11-13代入公式4，可得
$\bar R_2^0 = R_1^0 R_0^1 \bar R_2^1 R_{1}^{0} = \bar R_2^1 \bar R_{1}^{0} \tag{14}$Rˉ20​=R10​R01​Rˉ21​R10​=Rˉ21​Rˉ10​(14)
即证明了在固定坐标系下，旋转矩阵按顺序左乘。

向量旋转中的左乘

在固定坐标系下，有一点 $p_0$p0​, 先通过旋转矩阵$R_0^1$R01​,将其旋转到$p_1$p1​，再通过旋转矩阵$R_1^2$R12​,将其旋转到$p_2$p2​。同样对于$p_0$p0​，可以通过旋转矩阵$R_0^2$R02​,一步将其旋转到$p_2$p2​。则有以下公式：
$p_1 = R_0^1 p_0 \tag{15}$p1​=R01​p0​(15)
$p_2 = R_1^2 p_1 \tag{16}$p2​=R12​p1​(16)
$p_2 = R_0^2 p_0 \tag{17}$p2​=R02​p0​(17)
易得：
$R_0^2 = R_1^2 R_0^1 \tag{18}$R02​=R12​R01​(18)

向量旋转中的右乘

把18式两边取个逆就好。等式成立的代价是旋转矩阵的物理意义，或者说描述也改变了。向量旋转中的右乘这一节本没必要，甚至会引起人误解。但这里还是留出来，是因为误解总会发生的，还不如提前搞明白。

在处理旋转问题上，一定要弄清楚其物理意义，是坐标系旋转还是向量，是哪个点到哪个点；符号规定也要统一，上标代表什么，下标又代表什么，要与物理意义联系起来。（至少自己不糊涂吧）

旋转小知识

1. 绕x，y，z轴的旋转顺序有几种？

• 12种，以先绕x轴为例，有xyz，xzy，xzx，xyx。

2. 为什么旋转表示那么多？

• 头脑风暴开始…欧拉角很直观，但是不连续的，有奇异点；四元数连续，且可以通过机体坐标系的角速度更新，但需要归一化，不适合用于优化；轴角实际上属于李代数；而李代数既连续，也无约束，适合优化；旋转矩阵属于李群；说到群，其实旋转矩阵也可以由基变换得到（矩阵论里的了）。

放到最后的话

实际上这段话本身是放在前面作为引言的。但鉴于大家刷知乎都是碎片化时间学习，就不在开头浪费大家时间了。
关于旋转矩阵的博客与文章已经无数篇了，也有相应教材，无论是机器人学，还是惯导，都对此有详细的讲解。但大家都自有一套符号体系与应用场景，因此初入者常常看完一篇博客茅塞顿开，换了本书看又觉得和之前学到的不一样。大二时，为了做机器人的姿态估计，我参考一些惯导书籍和一些博客，自学AHRS（航姿参考系统），这些年来我一直觉得旋转矩阵是按先后顺序左乘的，虽然中间也看过有人用右乘，但当时不求甚解，只觉得是两边同乘逆矩阵就好了。直到最近的课堂作业涉及到机械臂的坐标系转换，我才认识到，我学了两三年，可能还是没学明白，于是就做了这篇简单的总结。