极限-导数-微积分

一、极限

1.1 洛必达法则：

1.1.1扩展实数的定义
扩展实数R加上+∞和−∞得到（注意+∞和−∞）$+\infty 和-\infty 得到（注意+\infty 和-\infty ）$并不是实数，写作R或者[−∞,+∞]$[-\infty ,+\infty ]$。
1.1.2 求出特定函数极限值。
令c∈R¯$c\in \overline{\mathbb{R}}$（扩展函数），两函数f(x),g(x)$f(x),g(x)$在x=c$x=c$为端点的开区间可微，limx→cf′(x)g′(x)∈R¯$\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\in \overline{\mathbb{R}}$，并且g′(x)≠0$g^{\prime }(x)\ne 0$。
如果：

limx→cf(x)=limx→cg(x)=0或者limx→c|f(x)|=limx→c|g(x)|=∞$$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\underset{x\to c}{lim}g(x)=0或者\underset{x\to c}{lim}|f(x)|=\underset{x\to c}{lim}|g(x)|=\mathrm{\infty }$$

则称要求的极限：limx→cf(x)g(x)$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$为未定式
洛必达表明：

limx→cf(x)g(x)=limx→cf′(x)g′(x)$$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

1.1.3 对于不符合上述分数形式的未定式，可以通过运算转为分数形式，再使用法则求极限。

1.2 连续函数：

1.3 导数：

1.4 梯度和梯度下降

定积分/不定积分