noip初赛问题求解解析

@洛谷有题
好吧我只是想水个博客，顺便noip2018rp++

noip2017

首先一眼望出第一空为4，然后暴力第二空，首先对每条边编号

枚举出可行的方案为
{2,3,4}{2,4,7,8}{8,9,10,11}{8,10,11,12}{4,5,8,11}{9,13,15}{12,13,15}{9,13,16}{12,13,16}，共九种

noip2016

设$f(n)$f(n)为$1*n$1∗n方格方案数
对当前第一格的颜色进行讨论

• 白色，第二格可以任意涂色，方案数为$f(n-1)$f(n−1)
• 黑色，第二个只能白色，第三个可以任意涂色，方案数为$f(n-2)$f(n−2)

所以，$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$f(n)=f(n−1)+f(n−2)
边界，$f(0)=1,f(1)=2$f(0)=1,f(1)=2
推得$f(8)=55$f(8)=55

noip2015

容斥
$[\frac{2015}{4}]=503, [\frac{2015}{5}]=403, [\frac{2015}{6}]=335$[42015​]=503,[52015​]=403,[62015​]=335
$[\frac{2015}{20}]=100,[\frac{2015}{12}]=167,[\frac{2015}{30}]=67$[202015​]=100,[122015​]=167,[302015​]=67
$[\frac{2015}{60}]=33$[602015​]=33
答案为$2015-(503+403+335-100-167-67+33)=1075$2015−(503+403+335−100−167−67+33)=1075

经典卡特兰数，$10*9*8*7*6/5/4/3/2/1/(5+1)=42$10∗9∗8∗7∗6/5/4/3/2/1/(5+1)=42

noip2013

期望dp（貌似是这么叫的）
$f(n)$f(n)表示在n的时候平均一共跳$f(n)$f(n)次
当前跳一次，可能落到前面的任何一个地方
$f(n)=\frac{[1+f(1)]+[1+f(2)]+...+[1+f(n-1)]+[1+f(n)]}{n}$f(n)=n[1+f(1)]+[1+f(2)]+...+[1+f(n−1)]+[1+f(n)]​
即$f(n)=\frac{n+f(1)+f(2)+...+f(n-1)}{n-1}$f(n)=n−1n+f(1)+f(2)+...+f(n−1)​
边界,$f(1)=0$f(1)=0，推得$f(5)=\frac{37}{12}$f(5)=1237​

noip2012

什么都不管，想想一个逻辑表达式最终的值与那些量有关
可能与{}{p}{q}{r}{p,q}{p,r}{q,r}{p,q,r}有关
所以答案为$2^8=256$28=256

树形dp
$f[u][0]表示不选当前结点的方案数，f[u][1]表示选当前结点的方案数$f[u][0]表示不选当前结点的方案数，f[u][1]表示选当前结点的方案数
v表示u的儿子
$f[u][0]=\prod_{(f[v][0]+f[v][1])}$f[u][0]=∏(f[v][0]+f[v][1])​
$f[u][1]=\prod_{f[v][0]}$f[u][1]=∏f[v][0]​
u结点总方案数为$f[u][0]+f[u][1]$f[u][0]+f[u][1]
初始化，叶子节点的f都为1
答案为5536