斜率优化学习笔记

背景：

我连这都不会…

题目传送门：

（这是一道例题）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

题意：

给定$n,m$n,m，接下来有$n$n个数$a_i$ai​，表示每一个单词的权值。现在你需要将这些单词分行，每一行的权值的计算公式是：$(\sum_{i=1}^{k}a_i)^2+m$(∑i=1k​ai​)2+m，现在求最小的权值和。

思路：

显然我们能想到常规做法。
设$f_i$fi​表示从第$1$1个单词到第$i$i个单词的权值和的最小值。
设$sum_k=\sum_{i=1}^{k}a_i$sumk​=∑i=1k​ai​
显然得到转移方程：$f_i=\min_{j=1}^{i}\{f_j+(sum_{i}-sum_j)^2\}$fi​=minj=1i​{fj​+(sumi​−sumj​)2}。
时间复杂度：$\Theta(n^2)$Θ(n2)。

可是我们过不了怎么办？
考虑$i$i从$j,k$j,k转移过来的情况，且从$j$j转移更优，$j>k$j>k。
可以得到不等式：
$f_j+(sum_i-sum_j)^2&lt;f_k+(sum_i-sum_k)^2$fj​+(sumi​−sumj​)2<fk​+(sumi​−sumk​)2

展开括号，得：
$f_j+sum_i^2+sum_j^2-2sum_isum_j&lt;f_k+sum_i^2+sum_k^2-2sum_isum_k$fj​+sumi2​+sumj2​−2sumi​sumj​<fk​+sumi2​+sumk2​−2sumi​sumk​

消去同类项，得：
$f_j+sum_j^2-2sum_isum_j&lt;f_k+sum_k^2-2sum_isum_k$fj​+sumj2​−2sumi​sumj​<fk​+sumk2​−2sumi​sumk​

再移项，得：
$f_j-f_k+sum_j^2-sum_k^2&lt;+2sum_isum_j-2sum_isum_k$fj​−fk​+sumj2​−sumk2​<+2sumi​sumj​−2sumi​sumk​

提取同类项，得：
$f_j-f_k+sum_j^2-sum_k^2&lt;2sum_i(sum_j-sum_k)$fj​−fk​+sumj2​−sumk2​<2sumi​(sumj​−sumk​)

再移项，得：
$\frac{f_j-f_k+sum_j^2-sum_k^2}{sum_j-sum_k}&lt;2sum_{i+1}$sumj​−sumk​fj​−fk​+sumj2​−sumk2​​<2sumi+1​

设$T_i=f_i+sum_i^2$Ti​=fi​+sumi2​，得：
$\frac{T_j-T_k}{sum_j-sum_k}&lt;2sum_{i+1}$sumj​−sumk​Tj​−Tk​​<2sumi+1​

结论：也就是说若存在$j&gt;k$j>k且$\frac{T_j-T_k}{sum_j-sum_k}&lt;2sum_i$sumj​−sumk​Tj​−Tk​​<2sumi​，那么从$j$j转移更优。

$ps:$ps:联想一下数学课本中的$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$k=x2​−x1​y2​−y1​​，发现左边的式子好像斜率啊。斜率优化就是这么来的。

那么有什么用呢？

因为$T$T是由$f$f和$sum$sum得到的，$sum$sum是固定的，所以我们求完了$f$f，就可以得到$T$T。
如图，从我们的斜率推导中我们可以以$sum$sum作为$x$x轴，$T$T作为$y$y轴建立坐标系,对应的点代表$f$f的值。
我们在求解$f_{now}$fnow​时，假设可选$i,j,k$i,j,k三个点转移，且如上图所示。
由于$k_{kj}&gt;k_{ji}$kkj​>kji​，所以$\frac{T_j-T_k}{sum_j-sum_k}&gt;\frac{T_i-T_j}{sum_i-sum_j}$sumj​−sumk​Tj​−Tk​​>sumi​−sumj​Ti​−Tj​​
由上面的结论可知两边的式子要与$2sum_{now}$2sumnow​比较。
就存在三种可能：
$[1]:$[1]:
$\frac{T_j-T_k}{sum_j-sum_k}&gt;\frac{T_i-T_j}{sum_i-sum_j}&gt;2sum_{now}$sumj​−sumk​Tj​−Tk​​>sumi​−sumj​Ti​−Tj​​>2sumnow​

由上面的结论可知此时$j$j比$i$i优，但$k$k比$j$j优，所以选择$k$k转移。

$[2]:$[2]:
$\frac{T_j-T_k}{sum_j-sum_k}&gt;2sum_{now}&gt;\frac{T_i-T_j}{sum_i-sum_j}$sumj​−sumk​Tj​−Tk​​>2sumnow​>sumi​−sumj​Ti​−Tj​​
由上面的结论可知此时$k$k比$j$j优，$i$i比$j$j优，所以选择$i$i或$k$k转移。

$[3]:$[3]:
$2sum_{now}&gt;\frac{T_j-T_k}{sum_j-sum_k}&gt;\frac{T_i-T_j}{sum_i-sum_j}$2sumnow​>sumj​−sumk​Tj​−Tk​​>sumi​−sumj​Ti​−Tj​​
由上面的结论可知此时$i$i比$j$j优，$j$j比$k$k优，所以选择$i$i转移。


综上所述，我们一定不会选择从$j$j转移。


我们维护一个这样的类似凸包且斜率单调递增的东西：

假设$k_{ji}&gt;2sum_{now}$kji​>2sumnow​且$k_{kj}&lt;2sum_{now}$kkj​<2sumnow​，我们可以从上面的结论得出$j$j点比所有比$k$k小的点都优，比所有比$i$i大的也优。所以我们二分查找斜率比$2sum_{now}$2sumnow​小的编号最大的点，就是最优的转移点。由于$sum$sum也有单调性，我们直接维护一个单调队列就可以了。
维护时，若队列前面的点不满足结论，则删掉；若后面的点不满足斜率单调递增，则删掉。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
	int n,m;
	LL a[1000010],sum[1000010],f[1000010];
	int que[1000010];
LL calc1(int x,int y)
{
	return sum[y]-sum[x];
}
LL calc2(int x,int y)
{
	return (f[y]+sum[y]*sum[y])-(f[x]+sum[x]*sum[x]);
}
int main()
{
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	{
		f[0]=sum[0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%lld",&a[i]);
			sum[i]=sum[i-1]+a[i];
		}
		int head=1,tail=1;
		que[1]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			while(head<tail&&calc2(que[head],que[head+1])<=(LL)2*sum[i]*calc1(que[head],que[head+1])) head++;
			/*原来形如calc2(x,y)/calc1(x,y)<=2*sum[i],移项(使得没有小数计算),得到上面的式子*/
			f[i]=f[que[head]]+calc1(que[head],i)*calc1(que[head],i)+m;
			while(head<tail&&calc2(que[tail],i)*calc1(que[tail-1],que[tail])<=calc2(que[tail-1],que[tail])*calc1(que[tail],i)) tail--;
			/*原来形如calc2(x1,y1)/calc2(x1,y1)<=calc2(x2,y2)*calc1(x2,y2)/,移项(使得没有小数计算),得到上面的式子*/ 
			que[++tail]=i;
		}
		printf("%lld\n",f[n]);
	}
}