A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication

1. 背景知识

Rafik Chaabouni，Helger Lipmaa和Bingsheng Zhang 2012年论文《A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication》，与Lipmaa 2012年论文《Progression-Free Sets and Sublinear Pairing-Based Non-Interactive Zero-Knowledge Arguments 》，两者之间有交叉引用。

Rafik Chaabouni，Helger Lipmaa和Bingsheng Zhang 2012年论文《A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication》中，要点为：

• 基于CRS model的non-interactive range proof.
• 采用Hadamard product来实现parallel证明。
• 证明COCOON2009 [21]论文中的Range Proof为不安全的。
  

截止改论文发表时，现有的range proof大致可以分为两类：

• 第一类： uses a classical result of Lagrange that every non-negative integer is a sum of four squares [13, 7, 21]。【要求相应的group具有unknown order，这将严重限制其应用。】
• 基于以下事实：若$a\in [0,H]$a∈[0,H]，当且仅当有相应的系数$G_i$Gi​，使得存在$b_i\in[0,u-1]$bi​∈[0,u−1]使$a=\sum_{i=1}^{n}G_ib_i$a=∑i=1n​Gi​bi​。要求，$u<<H$u<<H且$n$n足够小。接下来证明每一个$b_i$bi​均满足$b_i\in[0,u-1]$bi​∈[0,u−1]，利用commitment scheme的加法同态性可以verify $a=\sum_{i=1}^{n}G_ib_i$a=∑i=1n​Gi​bi​。明显地有$a\in[0,2^d-1]\ iff\ a=\sum_{i=1}^{d}2^{i-1}b_i,其中b_i\in{0,1}$a∈[0,2d−1] iff a=∑i=1d​2i−1bi​,其中bi​∈0,1。对于任意的$a\in[0,H]$a∈[0,H]，直观地，可转换为2个证明$a\in[0,2^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}-1]且H-a\in[0,2^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}-1]$a∈[0,2⌊log2​H⌋+1−1]且H−a∈[0,2⌊log2​H⌋+1−1]。事实上，通过巧妙地选择系数$G_i$Gi​，对于任意的$H>1$H>1，可以仅需要一个证明即可，$for\ a\in[0,H], for\ any\ H>1,iff\ a=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}G_ib_i\ and\ b_i\in[0,u-1]$for a∈[0,H],for any H>1,iff a=∑i=1⌊log2​H⌋+1​Gi​bi​ and bi​∈[0,u−1]。

2. 新的Range proof