均差（差商）
-
f[x0,x1]=f(x1)−f(x0)x1−x0 一阶
-
f[x0,x1,x2]=f(x1,x2)−f(x0,x1)x2−x0 二阶
⋮
性质
1.对上述二解均差展开，得，
f[x0,x1,x2]=f(x0)(x0−x1)(x0−x2)+f(x1)(x1−x0)(x1−x2)+f(x2)(x2−x0)(x2−x1)
依次类推
有，n阶均差可表示为f(x0),⋯,f(xn)的线性组合，且有，
f[x0,x1,⋯,xn]=∑i=1nf(xi)w′n+1(xi)
2.均差与节点的顺序无关
f[x0,x1,⋯,xk]=f[x1,⋯,xk]−f[x0,⋯,xk−1]xk−x0(分母为不同的两个xi相减)
3.f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!,a<ξ,x1,⋯,xn<b
牛顿插值公式
利用均差进行迭代，得，
f(x)==⋮=f(x0)+f[x,x0](x−x0)f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x,x0,x1](x−x0)(x−x1)f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)+f[x,x0,x1,⋯,xn]wn+1(x)
除最后一项的前面项之和为Nn(x),最后一项为插值余项Rn(x),则f(x)=Nn(x)+Rn(x),其中Nn(x)为牛顿插值公式，即f(x)≈Nn(x)。
当插值节点已知后，还需知其前n阶均差，就可算出Nn(x),均差的计算通常要用到均差表。
均差表的建立
其中，以f[x1,x2,x3]为例，分子为前面一阶均差的两项，分母则为x1,x3(以f[x1,x2,x3]为顶点作两条线，其中f(xk)所对应的xk即为作为分母的xk)。
- 对性质3的证明
已知在给定插值节点x0,x1,⋯,xn处,Rn(x)=f(x)−Nn(x)=0,即Rn(x)共有n+1个零点，则根据罗尔定理，存在a<ξ<b,使得R(n)n(ξ)=0,即
f(n)(ξ)−f[x0,x1,⋯,xn]n!=0
f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!,a<ξ,x1,⋯,xn<b
埃尔米特插值（插值条件与导数有关）
两种情况的描述
插值条件满足
|
x
|
x0
|
x1
|
x2
|
|
f(x)
|
f(x0)
|
f(x1)
|
f(x2)
|
|
f′(x)
|
|
f′(x1)
|
|
或
|
x
|
x0
|
x1
|
|
f(x)
|
y0
|
y1
|
|
f′(x)
|
y′0
|
y′1
|
对于这两种情况，不仅要满足函数值得要求，还要满足其导数的要求。
- 对于第一种情况，有
H3(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)
再利用H′3(x1)=f′(x1)求出A。
- 对于第二种情况
H3(x)=y0α0(x)+y1α1(x)+y′0β0(x)+y′1β1(x)（α0(x)等均为3次多项式）
其中，对α0(x),有，
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪α0(x0)=1α0(x1)=0α′0(x0)=0α′0(x1)=0
构造α0(x)=(x−x1)2(ax+b),利用上述式子求出a,b。
构造一个4次多项式P4(x),满足
|
x
|
0 |
1 |
2 |
|
f(x)
|
2 |
-4 |
44 |
|
f′(x)
|
-9 |
4 |
|
- 1.设多项式为P4(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,代入求解。
- 2.其差商表为
|
x
|
f(x)
|
一阶 |
二阶 |
| 0 |
2 |
|
|
| 1 |
-4 |
-6 |
|
| 2 |
44 |
48 |
27 |
构造P4(x)=2−6x+27x(x−1)+(ax+b)x(x−1)(x−2),代入，求出a,b
-3. 重节点
建立如下的差商表
|
x
|
f(x)
|
一阶 |
二阶 |
三阶 |
四阶 |
| 0 |
2 |
|
|
|
|
| 0 |
2 |
-9 |
|
|
|
| 1 |
-4 |
-6 |
3 |
|
|
| 1 |
-4 |
4 |
10 |
7 |
|
| 2 |
44 |
48 |
44 |
17 |
5 |
构造多项式P4(x)=2−9x+3x2+7x2(x−1)+5x2(x−1)2=5x4−3x3+x2−9x+2。