论文阅读-AKS_CoRR_2011

作者	年份	近似比
Hoogeveen	1991	$\frac{5}{3}$35​
An, Kleinberg, Shmoys	2012	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$21+5​​
Sebo	2013	$\frac{8}{5}$58​
Rico Zenklusen	2019	1.5

Title: Improving Christofides’s Algorithm for the s-t path TSP

Alpha: $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$21+5​​

Theorem1: Hoogeveen算法的解不超过$\frac{5}{3}OPT_{LP}$35​OPTLP​

定义1: Path-TSP的HK松弛

$min \sum_{e\in E} c_ex_e\\ \begin{aligned} & s.t.\\ & x(\delta(v))=\begin{cases} 1, & v=s,t\\ 2, & v\neq s,t \end{cases}\\ & x(\delta(S)) \geq \begin{cases} 1, & |S \cap \{s,t\}|=1,\\ 2, & |S \cap \{s,t\}|\neq 1,\\ \end{cases}\\ & 0 \leq x_e \leq 1, \forall e \in E \end{aligned}$mine∈E∑​ce​xe​​s.t.x(δ(v))={1,2,​v=s,tv​=s,t​x(δ(S))≥{1,2,​∣S∩{s,t}∣=1,∣S∩{s,t}∣​=1,​0≤xe​≤1,∀e∈E​

其中$\delta(S)$δ(S)是仅有一个端点落在S中的边的边集, 同时$X(E')=\sum_{e \in E'} x_e$X(E′)=∑e∈E′​xe​, 所谓的松弛就是最后一个0-1向量变成了实数.

定义2: 生成树凸集

生成树凸集由下面的不等式定义:
$\begin{aligned} & x(E)=|V|-1,\\ & x(E(S)) \leq |S|-1, \quad \forall |S| \subseteq V, |S| \geq 2,\\ & x_e \geq 0, \quad \forall e \in E \end{aligned}$​x(E)=∣V∣−1,x(E(S))≤∣S∣−1,∀∣S∣⊆V,∣S∣≥2,xe​≥0,∀e∈E​

其中E(S)是所有两个端点都在S中的边的边集.

Lemma1: LP-relaxation的任意可行解x都在生成树凸集中.

proof: LP-relaxation的约束满足生成树凸集的定义
$X(E) \equiv \sum_{e\in E} x_e = \frac{1}{2}\sum_{v\in V}x(\delta(v))\\ = \frac{1}{2}(|v|-2)\cdot 2 + 2)=|v|-1$X(E)≡e∈E∑​xe​=21​v∈V∑​x(δ(v))=21​(∣v∣−2)⋅2+2)=∣v∣−1
同时,
$X(E(S))=\frac{1}{2}(\sum_{v \in S}x(\delta(v))-x(\delta(S)))$X(E(S))=21​(v∈S∑​x(δ(v))−x(δ(S)))
如果$|S\cap \{s,t\}=1$∣S∩{s,t}=1, 有$X(E(S))\leq \frac{1}{2}(1+2(|S|-1)-1)=|S|-1$X(E(S))≤21​(1+2(∣S∣−1)−1)=∣S∣−1,

如果$|S\cap \{s,t\}=\empty$∣S∩{s,t}=∅, S-1,

如果$|S\cap \{s,t\}=2$∣S∩{s,t}=2,S-2

定义3: 奇数集S, 如果$|S\cap T|$∣S∩T∣含有奇数个, 则S是个奇数集

Lemma2: S是一个奇数集, 如果$|S\cap \{s,t\}|=1$∣S∩{s,t}∣=1, 则$|F\cap \delta(S)|$∣F∩δ(S)∣为偶数, 如果$|S\cap \{s,t\}|\neq1$∣S∩{s,t}∣​=1, 则$|F\cap \delta(S)|$∣F∩δ(S)∣为奇数.

例如,

Proof: s,t 如果在S中, 它们有偶数度, 其他点有奇数度.

定义$\sum_{v\in S}deg_F(v)=2|E(S)\cap F|+|\delta(S)\cap F|$∑v∈S​degF​(v)=2∣E(S)∩F∣+∣δ(S)∩F∣

证明如下:

1.如果$|S\cap \{s,t\}=1$∣S∩{s,t}=1, 假设$s\in S$s∈S, $s\in T$s∈T当且仅当$deg_F(s)$degF​(s)even.

则$S_{odd}\rightarrow even$Sodd​→even # 个奇数度的节点在S中($|S\cap T| odd$∣S∩T∣odd)

$\sum_{v\in S}deg_F(v)-2|E(s)\cap F|=|\delta(s)\cap F|$v∈S∑​degF​(v)−2∣E(s)∩F∣=∣δ(s)∩F∣
第一个子式为偶数度, 第二个子式肯定是偶数, 则右边也是偶数.



2. 如果$|S\cap \{s,t\}\neq 1$∣S∩{s,t}​=1,

则$S_{odd}\rightarrow odd$Sodd​→odd # 个奇数度的节点在S中

$\sum_{v\in S}deg_F(v)-2|E(s)\cap F|=|\delta(s)\cap F|$v∈S∑​degF​(v)−2∣E(s)∩F∣=∣δ(s)∩F∣
第一个子式为奇数度, 第二个子式肯定是偶数, 则右边也是奇数.

定义4: T-join LP

以下线性规划的解是一个最小成本的T-join, 对于cost $c\geq 0$c≥0:
$Min \sum_{e\in E}c_ex_e\\ \begin{aligned} & s.t.\\ & x(\delta(S)) \geq 1, & \forall S \subseteq V, |S\cap T| odd\\ & x_e \geq 0, & \forall e \in E \end{aligned}$Mine∈E∑​ce​xe​​s.t.x(δ(S))≥1,xe​≥0,​∀S⊆V,∣S∩T∣odd∀e∈E​
对于$|S\cap T|$∣S∩T∣为奇,
$\sum_{v\in S}deg_J(v)=2|E(S)\cap J|+|\delta(S)\cap J|$v∈S∑​degJ​(v)=2∣E(S)∩J∣+∣δ(S)∩J∣
因为奇数个奇数度的节点，因此等式左边为奇，因为右边第一个子式为偶，所以第二个子式为奇数.说明S向外连接的节点一定大于等于1.

proof of Theorem1

Step1

令$x^*$x∗为LP松弛的最优解OPT. $\text{cost of MST}\leq \sum_{e\in E}c_ex_e^* \equiv > OPT_{LP}$cost of MST≤∑e∈E​ce​xe∗​≡>OPTLP​, 因为$x^*$x∗总是生成树凸集的可行解.

令$X_F\in \{0,1\}^{|E|}$XF​∈{0,1}∣E∣,并且
$X_F(e)= \begin{cases} 1, \quad if e\in F \\ 0, \quad o.w. \end{cases}$XF​(e)={1,ife∈F0,o.w.​

claim: $y=\frac{1}{3}X_F+\frac{1}{3}x^*$y=31​XF​+31​x∗是T-join LP的一个可行解.

则有$c(F\cup T)=c(F)+c(T) \leq OPT_{LP}+\frac{1}{3}c(F)+\frac{1}{3}OPT_{LP} > \leq \frac{5}{3}OPT_{LP}$c(F∪T)=c(F)+c(T)≤OPTLP​+31​c(F)+31​OPTLP​>≤35​OPTLP​

Step2

若要claim成立,需要证明如果$|s\cap T|$∣s∩T∣为奇,则$y(\delta(S)) \geq 1$y(δ(S))≥1

如果 $|s\cap \{s,t\}|\neq 1$∣s∩{s,t}∣​=1则$y(\delta(S)) =\frac{1}{3}|F\cup \delta(S)|+\frac{1}{3}x^*(\delta(S)) \geq \frac{1}{3}+\frac{2}{3} = 1$y(δ(S))=31​∣F∪δ(S)∣+31​x∗(δ(S))≥31​+32​=1

【第二个部分,因为HK relaxation成立】

如果$|s\cap \{s,t\}|= 1$∣s∩{s,t}∣=1, 则$y(\delta(S)) =\frac{1}{3}|F\cup \delta(S)|+\frac{1}{3}x^*(\delta(S)) \geq \frac{2}{3}+\frac{1}{3} = 1$y(δ(S))=31​∣F∪δ(S)∣+31​x∗(δ(S))≥32​+31​=1

【第一个式子 lemma2】

claim 证毕.

定义5： 凸组合

令$x^*$x∗为LP的最优解, 令$x^F$xF表示为一个F的边集, 即
$x_F(e)=\begin{cases} 1 \quad e \in F \\ 0 \quad e \notin F \end{cases}$xF​(e)={1e∈F0e∈/​F​

因为$x^*$x∗在生成树凸集中,因此$x^*$x∗可以写成生成树$F_1,\cdots,F_k$F1​,⋯,Fk​的凸组合:
$x^*=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_{F_i}$x∗=i=1∑k​λi​xFi​​
其中$\sum_{i=1}^k\lambda_i = 1, \lambda_i \geq 0$∑i=1k​λi​=1,λi​≥0.

对于$F_i$Fi​, 设$T_i$Ti​是其T集,$J_i$Ji​是其最小成本T-join. 它们的和能够构成一个解称为best-of-many Christofide算法的解.

Theorem2: best-of-many Christofide算法的解, 同样满足上限为$\frac{5}{3}OPT_{LP}$35​OPTLP​.

下一步: 是否能够更优?

考虑$y_i=\alpha X_F+\beta x^*$yi​=αXF​+βx∗, 如果是$T_i$Ti​-Join LP的可行解, 则best s-t 哈密顿路径的长度最多不超过$(1+\alpha+\beta)OPT_{LP}$(1+α+β)OPTLP​.

$y_i$yi​是$T_i$Ti​-Join LP的可行解分两种情况考虑,设S 奇数集($|S\cup T_i| odd$∣S∪Ti​∣odd)

如果$|s\cap \{s,t\}|\neq 1$∣s∩{s,t}∣​=1,

$y(\delta(S)) =\alpha|F\cup \delta(S)|+\beta x^*(\delta(S)) \geq \alpha+2\beta$y(δ(S))=α∣F∪δ(S)∣+βx∗(δ(S))≥α+2β

[右边第一个式大于等于1, 第二个式大于等于2, 同上]

我们希望$\alpha+2\beta \geq 1$α+2β≥1, 则$T_i$Ti​-join LP约束就能够满足.

如果
$|s\cap \{s,t\}|= 1$∣s∩{s,t}∣=1, 则
$y_i(\delta(S)) =\alpha |F\cup \delta(S)|+\beta x^*(\delta(S)) \geq 2\alpha+\beta x^*(\delta(S))$yi​(δ(S))=α∣F∪δ(S)∣+βx∗(δ(S))≥2α+βx∗(δ(S))

注意到我们已经假设了$\alpha+2\beta \geq 1$α+2β≥1成立, 只有$2\alpha+\beta x^*(\delta(S)) < 1$2α+βx∗(δ(S))<1时, 存在问题.

注意到当$\alpha=0, \beta=\frac{1}{2}$α=0,β=21​时, 如果$x^*(\delta(S)) \geq 2$x∗(δ(S))≥2, 上式成立, 并且能够控制上限为$\frac{3}{2}OPT_{LP}$23​OPTLP​.

因此接下来只需要关注$x^*(\delta(S)) < 2$x∗(δ(S))<2的cuts, 并且对$y_i$yi​增加一个额外的修正来处理这些诶cuts.

定义6 $\tau$τ-Narrow cut

若$x^*(\delta(S)) < 1+\tau, \text{for fixed }\tau \leq 1$x∗(δ(S))<1+τ,for fixed τ≤1, S则是$\tau$τ-Narrow.

只有$|S\cup \{s, t\} =1$∣S∪{s,t}=1能够是$\tau$τ-Narrow.

定义7 $\tau$τ-Narrow cuts

$C_{\tau}$Cτ​是$s \in S$s∈S的所有$\tau$τ-Narrow cuts S的全集.

$C_{\tau}$Cτ​的性质:

Theorem3: 如果$S_1, S_2 \in C_{\tau}, S_1\neq S_2$S1​,S2​∈Cτ​,S1​​=S2​, 要么$S_1 \subset S_2$S1​⊂S2​,或$S_2 \subset S1$S2​⊂S1.

为证明上述Theorem, 首先有
$x^*(\delta(S_1)) + x^*(\delta(S_2)) \geq x^*(\delta(S_1 - S_2)) + x^*(\delta(S_2-S_1))$x∗(δ(S1​))+x∗(δ(S2​))≥x∗(δ(S1​−S2​))+x∗(δ(S2​−S1​))

Theorem proof:

假设,相反的, $S_1-S_2\neq \empty, S_2-S_1 \neq \empty$S1​−S2​​=∅,S2​−S1​​=∅.
$\begin{aligned} (1 + \tau)+(1+\tau) & > x^*(\delta(S_1))+x^*(\delta(S_2)) \\ & \geq x^*(\delta(S_1-S_2)) + x^*(\delta(S_2-S_1)) \\ & \geq 2 + 2 \end{aligned}$(1+τ)+(1+τ)​>x∗(δ(S1​))+x∗(δ(S2​))≥x∗(δ(S1​−S2​))+x∗(δ(S2​−S1​))≥2+2​
与定义矛盾.

根据Theorem, $\tau$τ-Narrow cuts的结构如下:

新的修正因子

令$e_Q$eQ​表示$\delta(Q)$δ(Q)的最小cost的边,考虑下式
$y_i(\delta(S)) =\alpha x_{F_i}+\beta x^* + \sum_{Q \in C_{\tau},|Q\cap T_i|}(1-2\alpha - \beta x^*(\delta(Q)))x_{e_Q}$yi​(δ(S))=αxFi​​+βx∗+Q∈Cτ​,∣Q∩Ti​∣∑​(1−2α−βx∗(δ(Q)))xeQ​​
对于$\alpha,\beta, \tau \geq 0$α,β,τ≥0,有$\alpha + 2\beta=1$α+2β=1并且$\tau = \frac{1-2\alpha}{\beta} - 1$τ=β1−2α​−1

Theorem: $y_i$yi​是一个$T_i$Ti​-Join LP的可行解.

proof:

对于S odd ($|S\cap T_i| odd$∣S∩Ti​∣odd)

如果$|S\cap \{s,t\}|\neq 1$∣S∩{s,t}∣​=1
$y_i(\delta(S)) \geq \alpha + 2 \beta =1$yi​(δ(S))≥α+2β=1
如果$|S\cap \{s,t\}|= 1$∣S∩{s,t}∣=1

如果 S不是$\tau$τ-narrow
$y_i(\delta(S)) \geq 2\alpha + \beta(1+\tau) =1$yi​(δ(S))≥2α+β(1+τ)=1

如果 S是$\tau$τ-narrow
$y_i(\delta(S)) \geq \alpha |F_i\cap \delta(S)| + \beta x^*(\delta(\delta(S))) + (1-2\alpha - \beta x^*(\delta(S))) =1$yi​(δ(S))≥α∣Fi​∩δ(S)∣+βx∗(δ(δ(S)))+(1−2α−βx∗(δ(S)))=1

注意到$x^*=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_{F_i}$x∗=∑i=1k​λi​xFi​​,$\sum_{i=1}^k\lambda_i = 1, \lambda_i \geq 0$∑i=1k​λi​=1,λi​≥0,$\lambda_i$λi​可以看成$F_i$Fi​的概率分布, 是其概率. 紧接着, 有以下两个lemma.

Lemma:

令F为随机采样的生成树$F_i$Fi​, T为对应的点集$T_i$Ti​, $Q\in C_{\tau}$Q∈Cτ​是一个$\tau$τ-narrow cut.
$Pr[|\delta(Q)\cap F|=1] \geq 2 - x^*(\delta(Q)) \\ Pr[|Q\cap T| odd] \leq x^*(\delta(Q)) - 1$Pr[∣δ(Q)∩F∣=1]≥2−x∗(δ(Q))Pr[∣Q∩T∣odd]≤x∗(δ(Q))−1

proof:

$x^*(\delta(Q)) = E[|F \cap \delta(Q)|] \geq Pr[|F \cap \delta(Q)|=1] + 2Pr[|F \cap \delta(Q)| \geq 2]$x∗(δ(Q))=E[∣F∩δ(Q)∣]≥Pr[∣F∩δ(Q)∣=1]+2Pr[∣F∩δ(Q)∣≥2]
并且$Pr[|F \cap \delta(Q)|=1] + Pr[|F \cap \delta(Q)| \geq 2]=1$Pr[∣F∩δ(Q)∣=1]+Pr[∣F∩δ(Q)∣≥2]=1, 因此,
$Pr[|F\cap \delta(Q)|=1] \geq 2 - x^*(\delta(Q))\\ Pr[|F\cap \delta(Q)| \geq 2] \leq x^*(\delta(Q)) -1$Pr[∣F∩δ(Q)∣=1]≥2−x∗(δ(Q))Pr[∣F∩δ(Q)∣≥2]≤x∗(δ(Q))−1
因为, $|Q\cap T_i| odd$∣Q∩Ti​∣odd有$|F_i \cap \delta(Q)| \geq 2$∣Fi​∩δ(Q)∣≥2,

所以$Pr[|Q\cap T_i| odd]\leq Pr[|F \cap \delta(Q)| \geq 2] \leq x^*(\delta(Q))-1$Pr[∣Q∩Ti​∣odd]≤Pr[∣F∩δ(Q)∣≥2]≤x∗(δ(Q))−1

Lemma:

$\sum_{Q \in C_{\tau}}C_{e_Q} \leq \sum_{e \in E} c_ex_e^*$Q∈Cτ​∑​CeQ​​≤e∈E∑​ce​xe∗​

Proof:
$\sum_{Q \in C_{\tau}}C_{e_Q} \leq \text{cost MST} \leq \sum_{e \in E} c_ex_e^*$Q∈Cτ​∑​CeQ​​≤cost MST≤e∈E∑​ce​xe∗​
构造过程, 对于$Q\in C_{\tau}$Q∈Cτ​, 将一条MST的边e映射到Q, 每次移除一个e, 然后构造s和v.

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-c2HJGiPe-1576136992642)(…/pictures/papers/2019STOC-A-1.5-Approx-for-path-TSP/lemma_t.png)]

Theorem: Best-of-Many Christofides算法是$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$21+5​​算法.

Proof:

$\begin{aligned} & \text{Best s-t Path} \leq \sum_i \lambda_i c(F_i \cup J_i)\\ & = \sum_i \lambda_i[c(F_i) + \alpha c(F_i) + \beta\sum_{e\in E} c_e x_e^* + \sum_{Q \in C_{\tau},|Q\cap T_i|}(1-2\alpha - \beta x^*(\delta(Q)))c_{e_Q}]\\ & \leq (1+\alpha + \beta) \sum_{e\in E} c_e x_e^* + \sum_{Q\in C_{\tau}}(x^*(\delta(Q))-1)(1-2\alpha -\beta x^*(\delta(Q)))c_{e_Q}\\ & \leq (1+\alpha + \beta) \sum_{e\in E} c_e x_e^* + max_{0 \leq z < \tau}E(1-2\alpha + \beta(1+z))\sum_{Q\in C_{\tau}}c_{e_Q}\\ & \leq (1+\alpha + \beta + max_{0 \leq z < \tau}E(1-2\alpha + \beta(1+z)))\sum_{e\in E} c_e x_e^*\\ & = (1+\alpha + \beta + max_{0 \leq z < \tau}E(\beta \tau - \beta z))\sum_{e\in E} c_e x_e^* [Maximized at z=\tau/2]\\ & \leq (1+\alpha + \beta + \beta (\frac{\tau}{2})^2)OPT_{LP}\\ & \leq (2 - \beta + \frac{(3\beta -1)^2}{4\beta})OPT_{LP} \end{aligned}$​Best s-t Path≤i∑​λi​c(Fi​∪Ji​)=i∑​λi​[c(Fi​)+αc(Fi​)+βe∈E∑​ce​xe∗​+Q∈Cτ​,∣Q∩Ti​∣∑​(1−2α−βx∗(δ(Q)))ceQ​​]≤(1+α+β)e∈E∑​ce​xe∗​+Q∈Cτ​∑​(x∗(δ(Q))−1)(1−2α−βx∗(δ(Q)))ceQ​​≤(1+α+β)e∈E∑​ce​xe∗​+max0≤z<τ​E(1−2α+β(1+z))Q∈Cτ​∑​ceQ​​≤(1+α+β+max0≤z<τ​E(1−2α+β(1+z)))e∈E∑​ce​xe∗​=(1+α+β+max0≤z<τ​E(βτ−βz))e∈E∑​ce​xe∗​[Maximizedatz=τ/2]≤(1+α+β+β(2τ​)2)OPTLP​≤(2−β+4β(3β−1)2​)OPTLP​​

证毕.

前后四篇工作的算法分析总体思路是一致的,都和wolsey分析的过程是相似, 以最后1.5的为例,

找到一个生成树F和一个满足HK relaxation的点z, 证明:

1. $l(F) \leq OPT$l(F)≤OPT,
2. $l(z) \leq OPT$l(z)≤OPT,
3. $z/2 \in P_{Q_{T-join}}$z/2∈PQT−join​​, 其中Q_T := odd(T)$\bigtriangleup$△{s,t}

T和一个T-join构成解,并且$l(F)+l(J) \leq l(T) + l(z)/2 \leq 3/2 OPT$l(F)+l(J)≤l(T)+l(z)/2≤3/2OPT

而之前的工作主要是弱化了第二条的要求,使得$l(z) \leq (1+c) OPT$l(z)≤(1+c)OPT.