牛顿法及拟牛顿法笔记

牛顿法

二阶优化算法又称为牛顿法，牛顿法是微积分学中， 通过迭代以求解可微函数f的零点的一种算法，而在最优化中，牛顿法通常被运用于求解一个二次可微函数f的一阶导数f’的零点x， 同时也是f的驻点。 因此从另一个角度而言，应用于最优化中的牛顿法是求解函数 f(x)的最小值或最大值的一种算法。

考虑无约束最优化问题

minx∈Rnf(x)$$mi{n}_{x\in R^n}f(x)$$

其中x∗$x^{\ast }$是目标函数的最小点

假设f(x)具有二阶连续偏导数,设第k次迭代值是x(k)$x^{(k)}$,则可以将f(x)在x(k)$x^{(k)}$处进行泰勒二次展开:

f(x)=f(x(k))+gTk(x−x(k))+1/2(x−x(k))H(x(k))(x−x(k))$$f(x)=f(x^{(k)})+g_k^T(x-x^{(k)})+1/2(x-x^{(k)})H(x^{(k)})(x-x^{(k)})$$

其中gTk=∇f(x(k)),H(x(k))$g_k^T=\mathrm{\nabla }f(x^{(k)}),H(x^{(k)})$是f(x)的Hessain矩阵

H(x)=[∂2f(x)∂xi∂xj]$$H(x)=[\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f(x)}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}]$$

函数f(x)有极值的必要条件是极值点一阶导数是0

那么对f(x)的泰勒展开求导并令导数为0得到如下,并令x(k+1)$x^{(k+1)}$为下一次迭代的值

gk+Hk(x(k+1)−x(k))=0$$g_k+H_k(x^{(k+1)}-x^{(k)})=0$$

那么就可以得到

x(k+1)=x(k)+pk$$x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k$$

其中, pk$p_k$ 包含了这次的迭代方向,他由下面这个式子决定

Hkpk=−gk$$H_k{p}_k=-g_k$$

如果Hk$H_k$可逆,则有

x(k+1)=x(k)−H−1kgk$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}{g}_k$$

拟牛顿法

上述牛顿法需要计算Hessain的逆,通常这一计算需要耗费很多时间,而我们需要的只是Hessain里面所包含的曲率信息.所以拟牛顿想法就是构造出一个矩阵包含我们需要的信息
相关的拟牛顿方法有DFP, BFGS, Broyden类算法

拟牛顿条件

这里我们看牛顿法中需要满足的条件

gk+Hk(x(k+1)−x(k))=gk+1=>Hk(x(k+1)−x(k))=gk+1−gk$$g_k+H_k(x^{(k+1)}-x^{(k)})=g_{k+1}=>H_k(x^{(k+1)}-x^{(k)})=g_{k+1}-g_k$$

现在记yk=gk+1−gk,δk=x(k+1)−x(k)$y_k=g_{k+1}-g_k,{\delta }_k=x^{(k+1)}-x^{(k)}$,得到如下

yk=Hkδk$$y_k=H_k{\delta }_k$$

或者

H−1kyk=δk$$H_k^{-1}{y}_k={\delta }_k$$

这两个式子就称为拟牛顿条件
在构造的时候Hessain的逆需要时正定的,因为这样可以保证求出的p是下降方向

拟牛顿法的构造思路

DFP

BFGS

详情看《统计学习方法》中的附录B

参考文献
1. 《统计学习方法》 -李航