正交调制与解调

网上查到的关于正交信号调制解调的内容不多，大多数介绍也忽略了理论推导，今天突然碰到了相关问题需要理解这个知识，发现自己之前本科的高频和通信原理学的真是浅显糊弄，翻了好半天本科的各种课本才搞清楚，特此记录下来，不要老是摸鱼。

原理图拿Visio画出来，不想吐槽连接线功能···

（一）上图的解释性推导

调制和解调是本科时高频课程的学习内容，所以我们应该和必须知道，乘法器是实现调制和解调的关键组件！！！
此外，关于为啥要调制，那是因为电磁波理论告诉我们，天线尺寸是被辐射信号波长的十分之一或更大，信号才能被有效辐射实现无线通信。如果要辐射语音信号（300-3400Hz）出去实现传输,则至少天线需要几十公里（$\lambda=\frac cf=\frac{3*10^8m/s}{300Hz}=1000km,1000km*0.1=100km$λ=fc​=300Hz3∗108m/s​=1000km,1000km∗0.1=100km）,显然是不可能实现的，所以必须把包含大量低频成分的基带信号搬到更高的频段，这种线性的搬移就是线性调制，有AM,DSB,SSB,VSB等，不再细说。此外，搬移频率也是为了便于接收机识别自己要接收的信号。

如图，一路信号的载波是$cos(w_0t)$cos(w0​t),另一路信号的载波是$-sin(w_ot)$−sin(wo​t),载波幅度在这里均为1，两个载波相位相差$90^o$90o，完全正交。

合成信号:
$s(t)=s_R(t)cos(w_0t)-s_I(t)sin(w_0t)\tag1$s(t)=sR​(t)cos(w0​t)−sI​(t)sin(w0​t)(1)

根据傅里叶变换的常用公式：
$cos(w_0t)\Longleftrightarrow \pi[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)]\tag2$cos(w0​t)⟺π[δ(w−w0​)+δ(w+w0​)](2)
$sin(w_0t)\Longleftrightarrow \frac{\pi}{j}[\delta(w-w_0)-\delta(w+w_0)]\tag3$sin(w0​t)⟺jπ​[δ(w−w0​)−δ(w+w0​)](3)
$f(t)h(t)\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}F(w)*H(w)\tag4$f(t)h(t)⟺2π1​F(w)∗H(w)(4)
得到：
$s_R(t)cos(w_0t)\Longleftrightarrow \frac12[S_R(w-w_0)+S_R(w+w_0)] \tag5$sR​(t)cos(w0​t)⟺21​[SR​(w−w0​)+SR​(w+w0​)](5)
$-s_I(t)sin(w_0t)\Longleftrightarrow \frac j2[S_I(w-w_0)-S_I(w+w_0)] \tag6$−sI​(t)sin(w0​t)⟺2j​[SI​(w−w0​)−SI​(w+w0​)](6)
$S(w)=\frac12[(S_R(w-w_0)+S_R(w+w_0))+j(S_I(w-w_0)-S_I(w+w_0))]\tag7$S(w)=21​[(SR​(w−w0​)+SR​(w+w0​))+j(SI​(w−w0​)−SI​(w+w0​))](7)

调制到此结束，继续推导解调：
合成信号$s(t)$s(t)经过信道产生的畸变，失真暂不考虑。

$2s(t)cos(w_0t)\Longleftrightarrow S(w-w_0)+S(w+w_0)=$2s(t)cos(w0​t)⟺S(w−w0​)+S(w+w0​)=
$\frac12[(S_R(w-2w_0)+S_R(w)+S_R(w)+S_R(w+2w_0))+j(S_I(w-2w_0)-S_I(w)+S_I(w)-S_I(w+2w_0))]$21​[(SR​(w−2w0​)+SR​(w)+SR​(w)+SR​(w+2w0​))+j(SI​(w−2w0​)−SI​(w)+SI​(w)−SI​(w+2w0​))]
经过低通滤波器，滤除$2w_0$2w0​的频率分量，则只剩
$S_R(w)$SR​(w)
经傅里叶反变换自然得到$s_R(t)$sR​(t).

同理，$-2s(t)sin(w_0t)\Longleftrightarrow j[S(w-w_0)-S(w+w_0)]=$−2s(t)sin(w0​t)⟺j[S(w−w0​)−S(w+w0​)]=
$\frac j2[(S_R(w-2w_0)+S_R(w)-S_R(w)-S_R(w+2w_0))+j(S_I(w-2w_0)-S_I(w)-S_I(w)+S_I(w+2w_0))]$2j​[(SR​(w−2w0​)+SR​(w)−SR​(w)−SR​(w+2w0​))+j(SI​(w−2w0​)−SI​(w)−SI​(w)+SI​(w+2w0​))]
经过低通滤波器，滤除$2w_0$2w0​的频率分量，则只剩
$S_I(w)$SI​(w)
经傅里叶反变换自然得到$s_I(t)$sI​(t).

（二）复数表示

上图的两路信号分别称为同相（In-Phase）分量信号和正交(Quadrature)分量信号。合成信号$s(t)$s(t)叫做正交调制信号。
如果两路信号中除了时间参数外还有未知参数如振幅，频率，相位，则它们是随机过程 。
假设两个分量信号是零均值的联合平稳的实过程，则合成信号就是调制过程(实过程)：
$s(t)=s_R(t)cos(w_0t)-s_I(t)sin(w_0t)\tag1$s(t)=sR​(t)cos(w0​t)−sI​(t)sin(w0​t)(1)
(1)是正交表达式。下面写出三角形式，也叫包络相位表达式：
$s(t)=r(t)cos[w_0t+\theta(t)]\tag2$s(t)=r(t)cos[w0​t+θ(t)](2)
则振幅和相位都是随机过程：
$r(t)=\sqrt{(s_R(t))^2+(s_I(t))^2},\quad \theta(t)=\arctan\frac{s_I(t)}{s_R(t)} \tag3$r(t)=(sR​(t))2+(sI​(t))2​,θ(t)=arctansR​(t)sI​(t)​(3)

振幅$r(t)$r(t)是包络，相对于$s(t)$s(t)，它通常是慢变化的。

构造复过程：
$a(t)=s_R(t)+js_I(t)=r(t)e^{j\theta(t)}\tag4$a(t)=sR​(t)+jsI​(t)=r(t)ejθ(t)(4)
$a(t)$a(t)是复包络。
显然有：
$s_R(t)=r(t)cos\theta (t) ,（real \quad part）\tag5$sR​(t)=r(t)cosθ(t),（realpart）(5)
$s_I(t)=r(t)sin \theta (t) ,（imaginary \quad part）\tag6$sI​(t)=r(t)sinθ(t),（imaginarypart）(6)
再构造解析过程(实部是自己，虚部是自己的希尔伯特变换的复过程)：
$z(t)=s(t)+j\hat s(t)\tag7$z(t)=s(t)+js^(t)(7)
代入