倍压电路电压建立过程分析

记录一下自己对倍压电路建立过程的分析：
先分析空载时的电压建立过程：

简单起见，令$C_1=C_2$C1​=C2​。电容$C_1$C1​与$C_2$C2​容值相同。$u_3$u3​正半周期变化时，$D_1$D1​导通，两个电容各自分担一半电压，因此，$U_{10}=\frac{u_3}{2}$U10​=2u3​​变化。到达最高值后，再往下变化，$D_1$D1​截止，因此$C_2$C2​上电压即$U_{2}$U2​保持$\frac{U_M}{2}$2UM​​不变，而$D_2$D2​此时也是截止的。电容$C_1$C1​上的电压即$U_1-u_3$U1​−u3​由于没有回路放电也将保持不变，为$-\frac{U_{M}}{2}$−2UM​​，所以$U_{10}=u_3-\frac{U_{M}}{2}$U10​=u3​−2UM​​，将会随着$u_3$u3​下降而快速下降。直到$u_3=\frac{U_{M}}{2}$u3​=2UM​​时，$D_2$D2​导通，$U_{10}=0$U10​=0，此后电容$C_1$C1​上电压为$U_1-u_3=-u_3$U1​−u3​=−u3​。$u_3=0$u3​=0时，$U_1=0$U1​=0，$D_1$D1​仍然截止，此后$u_3<0$u3​<0，电容$C_1$C1​上电压$U_1-u_3=-u_3>0$U1​−u3​=−u3​>0，$D_2$D2​仍然导通，直到$u_3=-U_{M}$u3​=−UM​，此时电容$C_1$C1​上电压$U_1-u_3$U1​−u3​达到一个最大值$U_{M}$UM​，此后，$u_3$u3​绝对值减小，$U_0-u_3=-u_3<U_{M}=U_1-u_3$U0​−u3​=−u3​<UM​=U1​−u3​，因此，此时$D_2$D2​截止，电容$C_1$C1​上电压保持$U_{M}$UM​不变，$U_{10}=u_3+U_{M}$U10​=u3​+UM​变化，直到$U_{10}=\frac{U_{M}}{2}$U10​=2UM​​即电容$C_2$C2​上电压时，$D_1$D1​导通，此时，电路形成回路，可以用方程求解：
$U_{C1}=U_1-u_3 \\ U_{C2}=U_2 \\ C_1\frac{\mathrm{dU_{C1}}}{\mathrm{d}t}=-C_2\frac{\mathrm{dU_{C2}}}{\mathrm{d}t} \\ -U_{C1}+U_{C2}=u_3 \\ U_{C1}(0)=U_{M} \\ U_{C2}(0)=\frac{U_{M}}{2}\\ u_3(0)=-\frac{U_{M}}{2}\\$UC1​=U1​−u3​UC2​=U2​C1​dtdUC1​​=−C2​dtdUC2​​−UC1​+UC2​=u3​UC1​(0)=UM​UC2​(0)=2UM​​u3​(0)=−2UM​​
求解得到：
$U_{C1}=-\frac{u_3}{2}+\frac{3U_{M}}{4}\\ U_1=\frac{u_3}{2}+\frac{3U_{M}}{4}\\$UC1​=−2u3​​+43UM​​U1​=2u3​​+43UM​​
从而电容器$C_2$C2​上电压将会继续变大，到$u_3$u3​最大时$U_1$U1​、$U_2$U2​达到最大值$\frac{5U_{M}}{4}$45UM​​。此后，$u_3$u3​下降，导致$D_1$D1​截止，电容$C_2$C2​保持电压$\frac{5U_{M}}{4}$45UM​​不变，而电容$C_1$C1​电压保持$\frac{U_{M}}{4}$4UM​​不变，即$U_1-u_3=\frac{U_{M}}{4}$U1​−u3​=4UM​​不变，$U_1=u_3+\frac{U_{M}}{4}$U1​=u3​+4UM​​随着$u_3$u3​下降而快速下降，直到$u_3=-\frac{U_{M}}{4}$u3​=−4UM​​时降为零，此后$D_2$D2​开通。过程与上一次类似，电容$C_1$C1​上将会充电，直到$u_3=-U_{M}$u3​=−UM​时充到最高，$D_2$D2​截止，$U_1-u_3=U_{M}$U1​−u3​=UM​，电容$C_1$C1​上保持电压不变。$U_{10}=u_3+U_{Mmax}$U10​=u3​+UMmax​变化，直到$U_{10}=\frac{5U_{M}}{4}$U10​=45UM​​即电容$C_2$C2​上电压时，$D_1$D1​导通，电路形成回路，可以用方程求解。方程形式与之前一样，只是初值有所变化：
$U_{C1}(0)=U_{M} \\ U_{C2}(0)=\frac{5U_{M}}{4} \\ u_3(0)=\frac{U_{M}}{4} \\$UC1​(0)=UM​UC2​(0)=45UM​​u3​(0)=4UM​​
可以解得：
$U_{C1}=-\frac{u_3}{2}+\frac{9U_{M}}{8} \\ U_{1}=\frac{u_3}{2}+\frac{9U_{M}}{8} \\$UC1​=−2u3​​+89UM​​U1​=2u3​​+89UM​​
因此，在$u_3$u3​变化后$U_1$U1​与$U_2$U2​最大可达$\frac{13U_{M}}{8}$813UM​​。依次类推，可以得到此后$U_2$U2​电压会逐渐达到的值：
$\frac{1}{2} \quad \frac{5}{4} \quad \frac{13}{8} \quad \cdots \\ a_n=\frac{1}{2}a_{n-1}+1 \\ a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}(-\frac{3}{2})+2 \\ \lim_{n \to \infty}a_n=2 \\$21​45​813​⋯an​=21​an−1​+1an​=(21​)n−1(−23​)+2n→∞lim​an​=2
即电容$C_2$C2​上电压将会以数列$((\frac{1}{2})^{n-1}(-\frac{3}{2})+2)U_M=((\frac{1}{2})^{n-1}(-\frac{3}{2})+2)U_M$((21​)n−1(−23​)+2)UM​=((21​)n−1(−23​)+2)UM​的变化规律逼近$2U_M$2UM​。

因此，倍压电路电压建立过程图像大致为：

上述分析中所作的简化$C_1=C_2$C1​=C2​的条件并非是必须的，只是影响逼近时的电压。

基于以上分析，容易得知，在空载条件下，达到稳态时，$U_1=U_M+u_3$U1​=UM​+u3​（$D_2$D2​截止），$U_2=2U_M$U2​=2UM​（不考虑二极管正向导通压降）。加上负载之后，由于存在电流$I_d$Id​作用，因此，$U_1$U1​与$U_2$U2​将会有波动。

在$D_1$D1​未导通时，$U_1$U1​应该还是近似为$U_M+u_3$UM​+u3​，而在$D_1$D1​导通之后，则近似（由于电阻原因，只是近似）为$U_2=U_{1}=\frac{u_3}{2}+U'$U2​=U1​=2u3​​+U′，随$u_3$u3​升高而增大，无电阻时应该在$u_3$u3​达到最大时$D_1$D1​截止，但是由于$R_x$Rx​作用，会有一定延时。在$U_1=U_2=U_{Max}$U1​=U2​=UMax​之后，$D_1$D1​截止。之后，电容$C_1$C1​上保持$U''$U′′（$D_1$D1​截止时电容$C_1$C1​上电压）不变，因此$U_1=u_3+U''(U''<U)$U1​=u3​+U′′(U′′<U)变化。直到$U_1=0$U1​=0时，$D_2$D2​导通，$U_1$U1​保持零不变，直到$u_3=-U_M$u3​=−UM​使得$C_1$C1​充电到$U_M$UM​时，$D_2$D2​截止。之后，$U_1=u_3+U_M$U1​=u3​+UM​变化。

$D_1$D1​截止后，$C_2$C2​通过$R_x$Rx​放电，近似认为电流$I_d$Id​为常数时，电压线性下降。

因此带负载时稳态电压图像大致为：

上图中的$U=U_M$U=UM​。