网络流及建模专题(下)

前言

不断更新中…
专题的(下)篇将介绍网络流的一些奇奇怪怪的应用和费用流有关的一些套路。

本专题暂时包含三道题：

洛谷P1251 餐巾计划问题: 费用流的基本应用
Trade Gym - 100212I: 使用网络流对图论中的边进行调整
codeforces 818G - Four Melodies: 费用流压缩建图

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洛谷P1251餐巾计划问题

题意

见题目链接

题解

这道题我们把选取一张餐巾纸当作是一个单位的流量，那么显然来源部不同的餐巾纸，他们的费用是不相同的，这就引出了费用流(最小费用最大流)的模型。

每一天可以在早上接受r[i]$r[i]$数量的餐巾纸，同时也可以将r[i]$r[i]$数量的餐巾纸送去清洗，所以我们需要将每一天拆成两个点，分别表示需要餐巾纸的点和送走餐巾纸的点。

需要餐巾纸的点与汇点T$T$连边，容量为r[i]$r[i]$，费用为0$0$。还要和源点S$S$连边，容量为r[i]$r[i]$，费用为p$p$，这代表购买新的餐巾纸的方式。
送走餐巾纸的点需要和两个点进行连边：

• 送去慢洗，则需要和n$n$天以后的需求点连边，容量为inf$inf$，费用为慢洗一条的费用。
• 送去快洗，则需要和m$m$天以后的需求点连边，容量为inf$inf$，费用为快洗一条的费用。

注意，由于一条餐巾纸洗完了可以存放任意时间，所以我们需要在相邻需求点之间连立一条费用为0$0$，容量为inf$inf$的边，代表的含义就是餐巾纸在存放。

如图所示:

优化：由于B$B$累点之间有边相连，表示餐巾纸可以存放到下一天，那么，我们可以把S−>B$S->B$的边省略掉，只保留S−>1B$S->1B$这条边，表示所有新购买的餐巾纸都在第一天买好，然后存放到需要的那一天再使用。

优化图如下：

这样建图完成以后，跑一个最小费用最大流就可以了。
注意：请检查你的板子速度是否可行，我的板子速度就太慢了，zkw费用流模板了解一下。

参考代码 略

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Trade Gym - 100212I

题意

给出A、B两个点集，A、B之间有边相连，而A和B的内部均无边相连。
题目要求求出最多删除A、B之间的多少边，才能使得A中点的度数至少都为2，B中点的度数也至少都为2。

题解

先求出每个点的度数，从每个点v出发，最多能删除deg[v]−2$deg[v]-2$条边（注意这里是理想情况下，不一定能删除这么多）。
那么我们就可以建立一个超级源点S$S$和超级汇点T$T$，从S$S$往A$A$点集连边，边的容量为deg[v]−2$deg[v]-2$，从B$B$点集往T$T$点连边，边的容量为deg[u]−2$deg[u]-2$
A$A$和B$B$之间的边流量全为1$1$。
从S$S$点流到T$T$的每一个为1$1$的流量，都相当于在原图里面删除了这条边。
跑一边最大流，就可以得到最多能删除多少边了。在残余网络中做一些小操作就可以把剩余的边输出出来。
网络图如下：

总结

网络流可以用于对图论中的边进行调整，当图论中的一条边存在流量流过的时候，代表该边被“调整”了，调整可以具有很多含义，比如本题中的“删除”也算“调整”。

参考代码 略

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Four Melodies

题意

题目链接

给出n$n$个数，输出选四个不相交的melody的所有情况中，4个melody长度总和的最大值。

要形成Melody，要求相邻的数字要么相差1$1$，要么相差7$7$的倍数。

题解

一种很直观的建图方法就是把每个数字拆成2个点in$in$和out$out$，然后源点也拆成2个点s$s$和s′$s^{\prime }$，并把s′$s^{\prime }$作为费用流的源点。

从s′−>s$s^{\prime }->s$建立一条容量为4$4$费用为0$0$的边。然后从s$s$点向每个in$in$建立一条容量为1$1$，费用为0$0$的边。

再从in$in$向out$out$建立一条容量为1$1$，费用为−1$-1$的边。从out$out$向汇点t$t$建立一条容量为1$1$，费用为0$0$的边。

然后对于任意两个node.i,j$node.i,j$如果i$i$到j$j$符合相邻的2$2$个条件，那么就从i的out$out$点向j的in$in$点连接一条容量为1$1$费用为0$0$的边，表示他们可以串起来。

这样的话，建图的复杂度为O(n2)$O(n^2)$，边的个数也为O(n2)$O(n^2)$，复杂度太高了，因此需要压缩建图。

奇技淫巧：当你找不到任何优化的点的时候，可以考虑搞一个出错率极小的做法，有一个想法就是每个点仅向后面50个点连边。

怎么压缩建图呢？

把每个点都扩充成3个点in,mid,out$in,mid,out$，其中in$in$往mid$mid$ 连边容量为1$1$，费用为−1$-1$，mid$mid$往out$out$连边，容量为1$1$，费用为0$0$。

从in$in$往out$out$连边容量为inf$inf$，费用为0$0$，表示途径这个点。

关键的一步来了：
从i这个点往后找第一个使得val[i]=val[j]+1$val[i]=val[j]+1$的点j$j$，从i.out$i.out$向j.in$j.in$连接一条容量为1$1$，费用为0$0$的边。
从i$i$这个点往后找第一个使得val[i]=val[j]−1$val[i]=val[j]-1$的点j$j$，从i.out$i.out$向j.in$j.in$连接一条容量为1$1$，费用为0$0$的边。
从i这个点往后找第一个使得（val[i]−val[j]）%7==0$（val[i]-val[j]）\mathrm{\%}7==0$的点j$j$，从i.out$i.out$向j.in$j.in$连接一条容量为1$1$，费用为0$0$的边。
这样的话，图就算压缩完成了（不需要两两比较建图）。
图举例：