四元数基础

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1复数

为了引入四元数的概念和更好的理解四元数，首先回顾复数的相关概念。因为四元数的根源其实是复数。

虚数：
$若i^2=-1$若i2=−1
则认为$i$i就是虚数，这是在逻辑上不存在的数。
复数：
复数由实部和虚部构成，表示形式为：
$z=a+bi~~a,b\in\mathbb{R},~~i^2=-1$z=a+bi  a,b∈R,  i2=−1
因此可以认为所有实数都是$b=0$b=0的复数、所有虚数都是$a=0$a=0的复数。

1.1 复数的运算

加法和减法

对应实部相加减，对应虚部相加减
$(a_{1} + b_{1}\mathbf i) + (a_{2} + b_{2}\mathbf i) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2})\mathbf i$(a1​+b1​i)+(a2​+b2​i)=(a1​+a2​)+(b1​+b2​)i
$(a_{1} + b_{1}\mathbf i) - (a_{2} + b_{2}\mathbf i) = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2})\mathbf i$(a1​+b1​i)−(a2​+b2​i)=(a1​−a2​)+(b1​−b2​)i

与标量相乘

$\lambda (a_{1} + b_{1}\mathbf i) = \lambda a_{1} + \lambda b_{1}\mathbf i$λ(a1​+b1​i)=λa1​+λb1​i

复数相乘

$z_{1} = (a_{1} + b_{1}\mathbf i) \\ z_{2} = (a_{2} + b_{2}\mathbf i) \\z_{1}z_{2} = (a_{1} + b_{1}\mathbf i)(a_{2} + b_{2}\mathbf i) = a_{1}a_{2} + a_{1}b_{2}\mathbf i + b_{1}a_{2}\mathbf i + b_{1}b_{2}\mathbf i^{2}\\ z_{1}z_{2} = (a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2}) + (a_{1}b_{2} + b_{1}a_{2})\mathbf i$z1​=(a1​+b1​i)z2​=(a2​+b2​i)z1​z2​=(a1​+b1​i)(a2​+b2​i)=a1​a2​+a1​b2​i+b1​a2​i+b1​b2​i2z1​z2​=(a1​a2​−b1​b2​)+(a1​b2​+b1​a2​)i

复数相除

$z_{1} = (a_{1} + b_{1}\mathbf i)\\ z_{2} = (a_{2} + b_{2}\mathbf i)\\ \frac {z_{1}}{z_{2}} = \frac {a_{1} + b_{1}\mathbf i}{a_{2} + b_{2}\mathbf i} = \frac {(a_{1} + b_{1}\mathbf i)(a_{2} - b_{2}\mathbf i)}{(a_{2} + b_{2}\mathbf i)(a_{2} - b_{2}\mathbf i)}\\= \frac {a_{1}a_{2}-a_{1}b_{2}\mathbf i+b_{1}a_{2}\mathbf i-b_{1}b_{2}\mathbf i^{2} }{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}$z1​=(a1​+b1​i)z2​=(a2​+b2​i)z2​z1​​=a2​+b2​ia1​+b1​i​=(a2​+b2​i)(a2​−b2​i)(a1​+b1​i)(a2​−b2​i)​=a22​+b22​a1​a2​−a1​b2​i+b1​a2​i−b1​b2​i2​

复数平方

$z = (a + b\mathbf i) \\z^{2} = (a + b\mathbf i)(a + b\mathbf i)\\z^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2ab\mathbf i$z=(a+bi)z2=(a+bi)(a+bi)z2=(a2−b2)+2abi

共轭复数

复数的共轭就是指把复数的虚数部分变成负的。
$z = (a + b\mathbf i)\\ z^{*} = (a - b\mathbf i)$z=(a+bi)z∗=(a−bi)
复数和它的共轭复数的乘积是：
$zz^{*} = (a + b\mathbf i)(a - b\mathbf i) = a^{2}-ab\mathbf i + ab\mathbf i + b^{2} = a^{2}+b^{2}$zz∗=(a+bi)(a−bi)=a2−abi+abi+b2=a2+b2

复数的绝对值

$z = (a + b\mathbf i)\\|z| = \sqrt {zz^{*}} = \sqrt {(a + b\mathbf i)(a - b\mathbf i)} = \sqrt {a^{2} + b^{2} }$z=(a+bi)∣z∣=zz∗​=(a+bi)(a−bi)​=a2+b2​

虚数的i次幂

$\mathbf i^{0} = 1 \\\mathbf i^{1} = \mathbf i \\ \mathbf i^{2} = -1 \\\mathbf i^{3} = \mathbf i\mathbf i^{2} = -i \\ \mathbf i^{4} = \mathbf i^{2}\mathbf i^{2} = 1 \\ \mathbf i^{5} = \mathbf i \mathbf i^{4} = i \\ \mathbf i^{6} = \mathbf i\mathbf i^{5} = \mathbf i^{2} = -1$i0=1i1=ii2=−1i3=ii2=−ii4=i2i2=1i5=ii4=ii6=ii5=i2=−1

虚数的-i次幂

$\mathbf i^{0} = 1 \\ \mathbf i^{-1} = -i \\ \mathbf i^{-2} = -1 \\ \mathbf i^{-3} = i \\ \mathbf i^{-4} = 1 \\ \mathbf i^{-5} = -i \\ \mathbf i^{-6} = -1$i0=1i−1=−ii−2=−1i−3=ii−4=1i−5=−ii−6=−1

复数平面

我们可以将复数映射到2D网格平面-复数平面，只需要把实数映射到横轴、虚数映射到纵轴。

对一个复数乘以i，这个复数就在复数平面上旋转了90度。
随机地在复数平面上取一个点：
$p = 2 + \mathbf i$p=2+i
p乘以i后得到q：
$q = p\mathbf i = (2+\mathbf i)\mathbf i = 2\mathbf i + \mathbf i^{2} = -1 + 2\mathbf i$q=pi=(2+i)i=2i+i2=−1+2i
q乘以i后得到r：
$r = q\mathbf i = (-1 + 2\mathbf i)\mathbf i = -\mathbf i + 2\mathbf i^{2} = -2 -\mathbf i$r=qi=(−1+2i)i=−i+2i2=−2−i
r乘以i后得到s：
$s = r\mathbf i = (-2 - \mathbf i)\mathbf i = -2\mathbf i-\mathbf i^{2} = 1 - 2\mathbf i$s=ri=(−2−i)i=−2i−i2=1−2i
s乘以i后得到t：
$t = s\mathbf i = (1-2\mathbf i)\mathbf i = \mathbf i - 2\mathbf i^{2} = 2 + \mathbf i$t=si=(1−2i)i=i−2i2=2+i

用复数表示旋转数

定义$q$q表示复数平面上任意角度的旋转：
$q = cos\theta + \mathbf i sin\theta$q=cosθ+isinθ
定义复平面上初始坐标$p$p：
$p = a + b\mathbf i$p=a+bi
$p$p在经过旋转$q$q后，得到新的坐标为：
$\begin{array}{rcl} pq & = & (a+bi)(\cos\theta+i\sin\theta) \\ a^{\prime}+b^{\prime}i & = & a\cos\theta-b\sin\theta+(a\sin\theta+b\cos\theta)i \end{array}$pqa′+b′i​==​(a+bi)(cosθ+isinθ)acosθ−bsinθ+(asinθ+bcosθ)i​
用矩阵表示为：
$\begin{bmatrix} a^{\prime} & -b^{\prime} \\ b^{\prime} & a^{\prime} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & -b \\b & a \end{bmatrix}$[a′b′​−b′a′​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][ab​−ba​]
这是复平面上点绕原点逆时针旋转任意角度的方法。

四元数

四元数在复数的基础上额外增加两个虚数，从而把这些概念拓展到3维空间。

2.1 四元数的一般形式

$q=s+xi+yj+zk~~s,x,y,z\in\mathbb{R}$q=s+xi+yj+zk  s,x,y,z∈R
也可以用有序对的形式，来表示四元数：
$q=[s,\mathbf{v}]~~s\in\mathbb{R}, \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3\\q=[s,x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}]~~s,x,y,z\in\mathbb{R}$q=[s,v]  s∈R,v∈R3q=[s,xi+yj+zk]  s,x,y,z∈R

2.2 四元数本身的性质

• $\mathbf i^{2} = \mathbf j^{2} = \mathbf k^{2} = \mathbf i\mathbf j\mathbf k = -1$i2=j2=k2=ijk=−1
• $\mathbf i \mathbf j = \mathbf k \ \ \ \mathbf j \mathbf k = \mathbf i \ \ \ \mathbf k \mathbf i = \mathbf j$ij=k   jk=i   ki=j
• $\mathbf j \mathbf i = -\mathbf k \ \ \ \mathbf k \mathbf j = -\mathbf i \ \ \ \mathbf i \mathbf k = -\mathbf j$ji=−k   kj=−i   ik=−j

你可能已经注意到了，i、j、k之间的关系非常像笛卡尔坐标系下单位向量的叉积规则：
$\mathbf x\times \mathbf y = \mathbf z \ \ \ \mathbf y\times \mathbf z = \mathbf x \ \ \ \mathbf z\times \mathbf x = \mathbf y \\ \mathbf y\times \mathbf x = -\mathbf z \ \ \ \mathbf z\times \mathbf y = -\mathbf x \ \ \ \mathbf x\times \mathbf z = -\mathbf y$x×y=z   y×z=x   z×x=yy×x=−z   z×y=−x   x×z=−y

• 实四元数： 一个实四元数是一个虚部向量为零向量的四元数：$q = [s,\mathbf {0}]$q=[s,0]
• 纯四元数： 一个纯四元数是一个实部为零的四元数：$q = [0,\mathbf {v}]$q=[0,v]
• 单位四元数： 它是一个$s=0,\mathbf{v}$s=0,v为单位向量的四元数。单位四元数可以表示三维空间中任意的一个旋转。

2.3 四元数的操作

2.3.1 四元数的加减

$\begin{array}{rcl}q_a & = & [s_a,\mathbf{a}] \\ q_b & = & [s_b,\mathbf{b}] \\ q_a+q_b & = & [s_a+s_b,\mathbf{a}+\mathbf{b}] \\ q_a-q_b & = & [s_a-s_b,\mathbf{a}-\mathbf{b}]\end{array}$qa​qb​qa​+qb​qa​−qb​​====​[sa​,a][sb​,b][sa​+sb​,a+b][sa​−sb​,a−b]​

2.3.2 四元数的乘积(叉乘)

$\begin{array}{rcl}q_a & = & [s_a,\mathbf{a}] \\ q_b & = & [s_b,\mathbf{b}] \\ q_{a}q_{b} & = & [s_{a},\mathbf{a}][s_{b},\mathbf{b}] \\ & = & (s_{a}+x_{a}i+y_{a}j+z_{a}k)(s_{b}+x_{b}i+y_{b}j+z_{b}k) \\ & = & (s_{a}s_{b}-x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b}-z_{a}z_{b}) \\ & & +(s_{a}x_{b}+s_{b}x_{a}+y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})i \\ & & +(s_{a}y_{b}+s_{b}y_{a}+z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})j \\ & & +(s_{a}z_{b}+s_{b}z_{a}+x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})k\end{array}$qa​qb​qa​qb​​=====​[sa​,a][sb​,b][sa​,a][sb​,b](sa​+xa​i+ya​j+za​k)(sb​+xb​i+yb​j+zb​k)(sa​sb​−xa​xb​−ya​yb​−za​zb​)+(sa​xb​+sb​xa​+ya​zb​−yb​za​)i+(sa​yb​+sb​ya​+za​xb​−zb​xa​)j+(sa​zb​+sb​za​+xa​yb​−xb​ya​)k​
其中：
$\mathbf{a} = x_{a}\mathbf{i}+y_{a}\mathbf{j}+z_{a}\mathbf{k} \\ \mathbf{b} = x_{b}\mathbf{i}+y_{b}\mathbf{j}+z_{b}\mathbf{k}$a=xa​i+ya​j+za​kb=xb​i+yb​j+zb​k
若用有序对形式来表示四元数乘积：
$[s_{a},\mathbf{a}][s_{b},\mathbf{b}]=[s_{a}s_{b}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{b},s_{a}\mathbf{b}+s_{b}\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}]$[sa​,a][sb​,b]=[sa​sb​−a⋅b,sa​b+sb​a+a×b]
其中：
$\begin{array}{rcl}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} & = & x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b} \\ \mathbf{a}\times\mathbf{b} & = & (y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})\mathbf{i}+(z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\mathbf{j}+(x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\mathbf{k}\end{array}$a⋅ba×b​==​xa​xb​+ya​yb​+za​zb​(ya​zb​−yb​za​)i+(za​xb​−zb​xa​)j+(xa​yb​−xb​ya​)k​

四元数乘积的结果依然为四元数

2.3.3 四元数的数乘

$\begin{array}{rcl}q & = & [s,\mathbf{v}] \\ \lambda{q} & = & \lambda[s,\mathbf{v}] \\ & = & [\lambda{s},\lambda\mathbf{v}]\end{array}$qλq​===​[s,v]λ[s,v][λs,λv]​

2.3.4 四元数的模长

$\begin{array}{rcl}q_a & = & [s_a,\mathbf{v_a}] \\ ||q_a|| & = & \sqrt{s^2+v^2}\\ &&\sqrt{s_a^2+x_a^2+y_a^2+z_a^2}\end{array}$qa​∣∣qa​∣∣​==​[sa​,va​]s2+v2​sa2​+xa2​+ya2​+za2​​​

2.3.5 共轭四元数

共轭四元数的计算，就是将四元数的虚向量取反：
$\begin{array}{rcl}q & = & [s,\mathbf{v}] \\ q^* & = & [s,-\mathbf{v}]\end{array}$qq∗​==​[s,v][s,−v]​
四元数与自身的共轭四元数相乘会得到一个实四元数：
$\begin{array}{rcl}qq^* & = & [s,\mathbf{v}][s,-\mathbf{v}] \\ & = & [s^2-\mathbf{v}\cdot-\mathbf{v},-s\mathbf{v}+s\mathbf{v}+\mathbf{v}\times-\mathbf{v}] \\ & = & [s^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v},\mathbf{0}] \\ & = & [s^2+v^2,\mathbf{0}]\end{array}$qq∗​====​[s,v][s,−v][s2−v⋅−v,−sv+sv+v×−v][s2+v⋅v,0][s2+v2,0]​

2.3.6 四元数的逆

四元数的逆用$\mathbf q^{-1}$q−1表示。要计算四元数的逆，需要用四元数的共轭四元数去除以四元数的范数的平方：
$q^{-1}=\frac{q^*}{||q||^2}$q−1=∣∣q∣∣2q∗​
特殊情况： 对于单位四元数，由于$||q||^2=1$∣∣q∣∣2=1，因此：
$q^{-1}=q^{*}$q−1=q∗

2.3.7 四元数的点乘

和向量的点积相似，我们也可以计算2个四元数的点积，只需要将各个对应的系数相乘，然后相加:
$\begin{array}{rcl}q_1 & = & [s_1,x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k}] \\ q_2 & = & [s_2,x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}] \\ q_1{\cdot}q_2 & = & s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}\end{array}$q1​q2​q1​⋅q2​​===​[s1​,x1​i+y1​j+z1​k][s2​,x2​i+y2​j+z2​k]s1​s2​+x1​x2​+y1​y2​+z1​z2​​
我们也可以利用四元数点积，来计算四元数之间的角度差：
$\cos\theta=\frac{s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{|q_{1}||q_{2}|}$cosθ=∣q1​∣∣q2​∣s1​s2​+x1​x2​+y1​y2​+z1​z2​​
两个单位四元数之间的角度值为：
$\cos\theta=s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$cosθ=s1​s2​+x1​x2​+y1​y2​+z1​z2​

2.4 用四元数来表示旋转

由于单位四元数可以表示三维空间中的任意一个旋转。假设存在初始点$p$p，经过旋转$q$q（四元数）后的的坐标为$p^{\prime}$p′。
为了将四元数作用于3D空间中的坐标点，首先需要将原坐标点转换为四元数形式：
$p = [0,v]^T=[0,x,y,z]^T$p=[0,v]T=[0,x,y,z]T
计算出旋转变换后坐标点对应的四元数为：
$p^{\prime} = qpq^{-1}$p′=qpq−1
$p^{\prime}$p′对应的虚部$v^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$v′(x′,y′,z′)，即变换后点在三维坐标系中的坐标值。
用四元数表示旋转： 即无冗余性，又没有奇异性。

2.5 四元数到其它旋转表示的转换

2.5.1 四元数转换到旋转向量

旋转向量的表示：$\theta \bf{n}$θn
其中$\bf{n}$n为旋转轴的方向$[n_x,n_y,n_z]$[nx​,ny​,nz​]，$\theta$θ为绕该旋转轴旋转的角度。
四元数的表示：$q = [s,\bf{v}]=[q_0,q_1,q_2,q_3]$q=[s,v]=[q0​,q1​,q2​,q3​]
$\theta = 2arccos (q_0)\\ [n_x,n_y,n_z]^T = [q_1,q_2,q_3]^T/{\sin{\frac{\theta}{2}}}$θ=2arccos(q0​)[nx​,ny​,nz​]T=[q1​,q2​,q3​]T/sin2θ​

2.5.2 四元数转换到旋转矩阵：

$R = vv^T + s^2I+2sv^{\wedge}+{(v^{\wedge})}^2$R=vvT+s2I+2sv∧+(v∧)2