2.13卷积公式

信号的分解实际上是依靠卷积运算来做的。
$\lim _{\Delta \to 0}\hat f(t)=f(t)=\int _{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)\rm d\tau$Δ→0lim​f^​(t)=f(t)=∫−∞∞​f(τ)δ(t−τ)dτ

设该信号为LTI系统的输入，则其输出根据LTI系统的性质可以得出如下：

$y_f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)\rm d\tau$yf​(t)=∫−∞∞​f(τ)h(t−τ)dτ

定义卷积积分
已知定义在区间$(-\infty,\infty)$(−∞,∞)上的两个函数$f_1(t)$f1​(t)和$f_2(t)$f2​(t)，则定义积分
$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)\rm d \tau$f(t)=∫−∞∞​f1​(τ)f2​(t−τ)dτ为$f_1(t)$f1​(t)和$f_2(t)$f2​(t)的卷积积分，简称卷积；记为：
$f(t)=f_1(t)*f_2(t)$f(t)=f1​(t)∗f2​(t)

注意：积分是在虚设的变量$\tau$τ下进行的，$\tau$τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。可演变其他上下限。