投影矩阵

投影矩阵

• 1.投影与投影矩阵
• 1.1定义
• 1.2充要条件
• 1.2.1引理
• 1.2.2定理
• 1.3投影矩阵的构造

1.投影与投影矩阵

上课感觉自己听的还可以，下来算的时候就

1.1定义

设$L,M$L,M是$C^n$Cn的子空间并且有$L+M=L\oplus U=C^n$L+M=L⊕U=Cn,即$\forall x\in C^n,\exists 唯一y\in L,z\in M,使得x=y+z$∀x∈Cn,∃唯一y∈L,z∈M,使得x=y+z，称y为x研M到L的投影，也称为投影算子

1.2充要条件

1.2.1引理

设E为n阶幂等矩阵，那么有$N(P)=R(I-P)$N(P)=R(I−P)
说明：

• 幂等矩阵：形如$A^2=A$A2=A的矩阵
• $N(E)=\{ x|Ex=0,x\in C^n \}$N(E)={x∣Ex=0,x∈Cn}
• $R(E)=\{ y|y=Ex,x\in C^n\}$R(E)={y∣y=Ex,x∈Cn}注意值域

证明：
$P^2=P\rightarrow P(I-P)=O\rightarrow\forall x\in C^n,P(I-P)x=0$P2=P→P(I−P)=O→∀x∈Cn,P(I−P)x=0 上式可以写为$N(R(I-P))=0$N(R(I−P))=0即$R(I-P)$R(I−P)的值域包含在$N(P)$N(P)中。接下来有,对于$\forall Px=0,$∀Px=0,$x=Ix-Px =(I-P)x\in R(1-P)$x=Ix−Px=(I−P)x∈R(1−P)即$N(P)\subset R(I-P)$N(P)⊂R(I−P)
综上，得证。理解$R(p)$R(p)的值域的含义很关键

1.2.2定理

n阶方阵P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵（投影的子空间为$R(P),N(P)$R(P),N(P)）
证明：
充分性：
分析：成为投影矩阵需要满足$R(P)+N(P)=C^n$R(P)+N(P)=Cn且$R(P)\bigcap N(P)=\{0\}$R(P)⋂N(P)={0}
首先证明第一点：
$\because \forall x\in C^n有$∵∀x∈Cn有 $x=x+Px-Px=Px+(I-P)x$x=x+Px−Px=Px+(I−P)x $\because Px\in R(P), (I-P)x\in R(I-P)=N(P)$∵Px∈R(P),(I−P)x∈R(I−P)=N(P) $\therefore R(P)+N(P)=C^n$∴R(P)+N(P)=Cn 接下来证明$R(P)\bigcap N(P)=\{0\}$R(P)⋂N(P)={0}
一方面，$x\in R(P),x=Pu$x∈R(P),x=Pu另一方面$x\in N(P)，Px=O$x∈N(P)，Px=O $Px=O= P^2u=Pu =x$Px=O=P2u=Pu=x $\therefore R(P)\bigcap N(P)=\{0\}$∴R(P)⋂N(P)={0}充分性得证
接下来证明必要性：
$\because \forall x\in C^n,\exists 唯一分解有 y\in L,z\in M 使得x=y+z且Px=y$∵∀x∈Cn,∃唯一分解有y∈L,z∈M使得x=y+z且Px=y $P^2x= Py =y =Px (对于y,有唯一分解y=y+o)$P2x=Py=y=Px(对于y,有唯一分解y=y+o) $\therefore P^2=P$∴P2=P必要性得证

1.3投影矩阵的构造

依据$Py=y$Py=y
$X=[x_1,x_2,...,x_r]$X=[x1​,x2​,...,xr​]是L的一组基,$Y=[y_1,y_2,...,y_{n-r}]$Y=[y1​,y2​,...,yn−r​]是M的一组基。那么有$P_{L,M}[XY]=[XO]$PL,M​[XY]=[XO]所以$P_{L,M}=[XO][XY]^{-1}$PL,M​=[XO][XY]−1