仿射变换和透视变换的基本概念
仿射变换
-
用途
旋转 (线性变换)，平移 (向量加)．缩放(线性变换)，错切，反转 -
方法
仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量 (平移) 的形式．
以上公式将点(x,y)映射到(x’,y’)，在OpenCV中通过指定一个2x3矩阵实现此功能（公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，m11,m12,m21,m22为线性变化参数，m13,m23为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3）
- 举例
a) 以原点为中心旋转，2x3矩阵为：
[ cos(theta), -sin(theta), 0 ],
[ sin(theta), cos(theta), 0 ]
则
x’ = x * cos(theta) - sin(theta) * y
y’ = x * sin(theta) + cos(theta) * y
b) 平移，2x3矩阵为
[1,0,tx],
[0,1,ty]
则
x’ = x * 1 + y * 0 + tx = x + tx
y’ = x * 0 + y * 1 + ty = y + ty
- 具体应用
在OpenCV中，仿射变换通过函数cvWrapAffine(src,dst,mat)实现，其中mat是2x3的仿射矩阵，该矩阵可以利用函数cvGetAffineTransform(srcTri,dstTri,mat)得到，其中mat是被该函数填充的仿射矩阵，srcTri和dstTri分别是由三个顶点定义的平行四边形（由于是平行四边形，只需要指定三个顶点即可确定），即：给出变换前的ABCD和变换后的A’B’C’D’
运用实例
例程：
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
img = cv2.imread('lena.jpg') #导入图片
rows,cols,ch = img.shape #获取图片形状
pts1 = np.float32([[50,50],[200,50],[50,200]])
pts2 = np.float32([[10,100],[200,50],[100,250]])
M = cv2.getAffineTransform(pts1,pts2) #创建一个2x3矩阵
dst = cv2.warpAffine(img,M,(cols,rows)) #进行变换
plt.subplot(121),plt.imshow(img),plt.title('Input')
plt.subplot(122),plt.imshow(dst),plt.title('Output')
plt.show()
变换效果
透视变换（投影变换）
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用途
将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接． -
方法
透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维（x,y）到三维(X,Y,Z)，再到另一个二维(x’,y’)空间的映射．
相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换．
以上公式设变换之前的点是z值为1的点，它三维平面上的值是x,y,1，在二维平面上的投影是x,y，通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z，再通过除以三维中Ｚ轴的值，转换成二维中的点x’,y’.
从以上公式可知，仿射变换是透视变换的一种特殊情况．它把二维转到三维，变换后，再转映射回之前的二维空间（而不是另一个二维空间）．
- 具体应用
在OpenCV中，透视变换通过函数cvWrapPerspective(src,dst,mat)实现, 与仿射变换不同的是，透视矩阵是一个3x3的矩阵，在计算矩阵时，可利用函数cvGetPerspectiveTransform(srcQuad,dstQuad,mat)，由于不再是平行四边形，需要提供四边形的四个顶点
运用实例
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
img = cv2.imread('lena.jpg')
rows,cols,ch = img.shape
pts1 = np.float32([[56,65],[368,52],[28,387],[389,390]])
pts2 = np.float32([[0,0],[300,0],[0,300],[300,300]])
M = cv2.getPerspectiveTransform(pts1,pts2)
dst = cv2.warpPerspective(img,M,(300,300))
plt.subplot(121),plt.imshow(img),plt.title('Input')
plt.subplot(122),plt.imshow(dst),plt.title('Output')
plt.show()
使用后效果
区别
仿射变换后平行四边形的各边仍操持平行，透视变换结果允许是梯形等四边形，所以仿射变换是透视变换的子集