正交投影矩阵

1.定义

在投影矩阵的基础上，$L,M$L,M正交，即$M=L^{\perp}=\{y|(y,x)=0,y\in C^n,x\in L\}$M=L⊥={y∣(y,x)=0,y∈Cn,x∈L}。

2.充要条件

n阶方阵P为正交投影矩阵的充要条件是P为幂等厄米矩阵。
证明：
充分性：
$\because P^2=P,P^H=P\rightarrow P_{R(P),N(P)}=P_{R(P),N(P^H)}=P_{R(P),R^\perp(P)}$∵P2=P,PH=P→PR(P),N(P)​=PR(P),N(PH)​=PR(P),R⊥(P)​充分性得证。（利用$N(P^H)=R^{\perp}(p)$N(PH)=R⊥(p)）
必要性：
$\because P为正交投影矩阵\therefore (Pu)^H(I-P)y=O$∵P为正交投影矩阵∴(Pu)H(I−P)y=O $u^HP^H(I-P)y=O$uHPH(I−P)y=O $\because u和y的任意性\rightarrow P^H(I-P)=O,P^H=P^HP=(PP^H)^H=(P^H)^H=P$∵u和y的任意性→PH(I−P)=O,PH=PHP=(PPH)H=(PH)H=P所以P是厄米矩阵，由前一篇可知P为幂等。故得证。

3.正交投影矩阵的构造

4.投影矩阵与广义逆矩阵

to be continued（没看懂）
$AXA=A\rightarrow AX=P_{R(A),N(AX)}$AXA=A→AX=PR(A),N(AX)​