z 变换

1. z 变换

单位脉冲响应为 $h[n]$h[n] 的离散时间线性时不变系统对复指数输入 $z^n$zn 的响应 $y[n]$y[n] 为

$\tag{1} y[n] = H(z) z^{n}$y[n]=H(z)zn(1)

式中 $H(z)$H(z) 是一个复常数，为

$\tag 2 H[z] =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h[n]z^{-n}$H[z]=n=−∞∑+∞​h[n]z−n(2)

若 $z=e^{j\omega}$z=ejω，这里 $\omega$ω 为实数（即，$|z|=1$∣z∣=1），则（2）式的求和式就是 $h[n]$h[n] 的离散时间傅里叶变换。在更为一般的情况下，当 $|z|$∣z∣ 不限制为 1 的时候，（2）式就称为 $h[n]$h[n] 的 $z$z 变换。

一个离散时间信号 $x[n]$x[n] 的 $z$z 变换定义为

$\tag 3 \boxed{X(z) \overset{\triangle}{=}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}}$X(z)=△n=−∞∑+∞​x[n]z−n​(3)

若将复变量 $z$z 表示成极坐标形式

$\tag{4} z = r e^{j\omega}$z=rejω(4)

用 $r$r 表示 $z$z 的模，而用 $\omega$ω 表示它的相角。利用 $r$r 和 $\omega$ω，（3）式就变为

$\tag 5 X(r e^{j\omega}) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n](r e^{j\omega})^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\{x[n]r^{-n}\} e^{-j\omega n}$X(rejω)=n=−∞∑+∞​x[n](rejω)−n=n=−∞∑+∞​{x[n]r−n}e−jωn(5)

由此可见，$X(r e^{j\omega})$X(rejω) 就是序列 $x[n]$x[n] 乘以实指数 $r^{-n}$r−n 后的傅里叶变换，即

$\tag 6 X(r e^{j\omega}) =\displaystyle \mathcal F\{x[n]r^{-n}\}$X(rejω)=F{x[n]r−n}(6)

在 $z$z 变换中当变换变量 $z$z 的模为 1 时，即 $z=e^{j\omega}$z=ejω，$z$z 变换就演变为傅里叶变换。于是，傅里叶变换就成为在复数 $z$z 平面中，半径为 1 的圆上的 $z$z 变换。在 $z$z 平面上，这个圆称为单位圆。

一般来说，对于某一序列的 $z$z 变换，存在着某一个 $z$z 值的范围，对该范围内的 $z$z，$X(z)$X(z) 收敛，这样一些值的范围就称为收敛域（ROC）。如果 ROC 包括单位圆，则傅里叶变换也收敛。

• 例 1
  

• 例 2
  

2. $z$z 变换的收敛域

性质 1：$X(z)$X(z) 的 $ROC$ROC 是在 $z$z 平面上以原点为中心的圆环。

性质 2：$ROC$ROC 内不包含任何极点。

性质 3：如果 $x[n]$x[n] 是有限长序列，那么 $ROC$ROC 就是整个 $z$z 平面，可能除去 $z=0$z=0 和/或 $z=\infty$z=∞。

性质 4：如果 $x[n]$x[n] 是一个右边序列，并且 $|z|=r_0$∣z∣=r0​ 的圆位于 $ROC$ROC 内，那么 $|z|>r_0$∣z∣>r0​ 的全部有限 $z$z 值都一定在这个 $ROC$ROC 内。

性质 5：如果 $x[n]$x[n] 是一个左边序列，并且 $|z|=r_0$∣z∣=r0​ 的圆位于 $ROC$ROC 内，那么 $ 0< |z| < r_0$ 的全部 $z$z 值都一定在这个 $ROC$ROC 内。

性质 6：如果 $x[n]$x[n] 是双边序列，并且 $|z|=r_0$∣z∣=r0​ 的圆位于 $ROC$ROC 内，那么该 $ROC$ROC 一定是由包括 $|z|=r_0$∣z∣=r0​ 的圆环所组成。

性质 7：如果 $x[n]$x[n] 的 $z$z 变换 $X(z)$X(z) 是有理的，那么它的 $ROC$ROC 就被极点所界定，或者延伸到无限远。

性质 8：如果 $x[n]$x[n] 的 $z$z 变换 $X(z)$X(z) 是有理的，而且若 $x[n]$x[n] 是右边序列，那么，$ROC$ROC 就位于 $z$z 平面内最外层极点的外边；也就是半径等于 $X(z)$X(z) 极点中最大模值的圆的外边。而且，若 $x[n]$x[n] 是因果序列（即 $x[n]$x[n] 为 $n&lt;0$n<0 等于 $0$0 的右边序列），那么，$ROC$ROC 也包括 $z=\infty$z=∞。

性质 9：如果 $x[n]$x[n] 的 $z$z 变换 $X(z)$X(z) 是有理的，而且若 $x[n]$x[n] 是左边序列，那么，$ROC$ROC 就位于 $z$z 平面内最里层的非零极点的里边；也就是半径等于 $X(z)$X(z) 中除去 $z=0$z=0 的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括 $z=0$z=0。特别地，若 $x[n]$x[n] 是反因果序列（即 $x[n]$x[n] 为 $n&gt;0$n>0 等于 $0$0 的左边序列），那么，$ROC$ROC 也包括 $z=0$z=0。

3. $z$z 反变换

对（6）式两边进行傅里叶反变换可得

$\tag 7 \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) =x[n]r^{-n}$F−1X(rejω)=x[n]r−n(7)

因此

$\tag 8 x[n] = r^{n} \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) = r^{n} \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega$x[n]=rnF−1X(rejω)=rn2π1​∫2π​X(rejω)ejωndω(8)

将 $r^n$rn 的指数因子移进积分号内，则有

$\tag 9 x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) (re^{j\omega})^ nd\omega$x[n]=2π1​∫2π​X(rejω)(rejω)ndω(9)

也就是说，将 $z$z 变换沿着在 $ROC$ROC 内 $z=re^{j\omega}$z=rejω，$r$r 固定而 $\omega$ω 在一个 $2\pi$2π 区间内变化的闭合围线上求值，就能将 $x[n]$x[n] 恢复出来。

现在将积分变量从 $\omega$ω 改为 $z$z。由于 $z=re^{j\omega}$z=rejω，$r$r 固定，$dz=jre^{j\omega}d\omega=jzd\omega$dz=jrejωdω=jzdω，或者 $d\omega=(1/j)z^{-1}dz$dω=(1/j)z−1dz。这样，（9）式中在 $\omega$ω 的 $2\pi$2π 区间的积分，利用 $z$z 以后，就对应于变量 $z$z 在环绕 $|z|=r$∣z∣=r 的圆上一周的积分。

$\tag{10} x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint X(z) z^ {n-1}dz$x[n]=2πj1​∮X(z)zn−1dz(10)

式中，$\oint$∮ 记为在半径为 $r$r，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。$r$r 的值可选为使 $X(z)$X(z) 收敛的任何值，也就是使 $|z|=r$∣z∣=r 的积分围线位于 $ROC$ROC 的任何值。

• 确定 $z$z 反变换的一种方法就是先进行部分分式展开，然后逐项求其反变换。

这种方法依赖于将 $X(z)$X(z) 展开成如下形式的部分分式：

$\tag{11} X(z) = \sum_{i=1}^{m} \frac{A_i}{1-a_iz^{-1}}$X(z)=i=1∑m​1−ai​z−1Ai​​(11)

若 $X(z)$X(z) 的 $ROC$ROC 是位于极点 $z=a_i$z=ai​ 的外边，那么其对应项的反变换就是 $A_i a_i^n u[n]$Ai​ain​u[n]；另一方面，若 $X(z)$X(z) 的 $ROC$ROC 是位于极点 $z=a_i$z=ai​ 的里面，那么对应项的反变换就是 $-A_i a_i^n u[-n-1]$−Ai​ain​u[−n−1]。

• 确定 $z$z 反变换的另一种方法是建立在 $X(z)$X(z) 的幂级数展开的基础之上。由 $ X(z) =\sum_{n=-\infty}^{{+\infty}x[n]z}{-n}$ 可知，实际上 $z$z 变换就是涉及 $z$z 的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数的系数就是序列值 $x[n]$x[n]。

用幂级数展开法来求 $z$z 反变换对非有理的 $z$z 变换式特别有用。

4. $z$z 变换的性质

4.1. 线性

若

$x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1$x1​[n]↔zX1​(z)ROC=R1​

和

$x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2$x2​[n]↔zX2​(z)ROC=R2​

则

$\tag{12} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}$ax1​[n]+bx2​[n]↔zaX1​(z)+bX2​(z)ROC 包括 R1​∩R2​​(12)

4.2. 时移性质

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$x[n]↔zX(z)ROC=R

则

$\tag{13} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} z^{-n_0}X(z) \quad ROC=R \space 原点或无限远点可能加上或除掉}$x[n−n0​]↔zz−n0​X(z)ROC=R 原点或无限远点可能加上或除掉​(13)

4.3. $z$z 域尺度变换

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$x[n]↔zX(z)ROC=R

则

$\tag{14} \boxed{ z_0^nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{z}{z_0}) \quad ROC=|z_0|R }$z0n​x[n]↔zX(z0​z​)ROC=∣z0​∣R​(14)

这就是说，若 $z$z 是在 $X(z)$X(z) 的 $ROC$ROC 内的一点，那么点 $|z_0|z$∣z0​∣z 就在 $X(z/z_0)$X(z/z0​) 的 $ROC$ROC 内。

4.4. 时间反转

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$x[n]↔zX(z)ROC=R

则

$\tag{15} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{1}{z}) \quad ROC=\frac{1}{R} }$x[−n]↔zX(z1​)ROC=R1​​(15)

这就是说，若 $z_0$z0​ 是在 $x[n]$x[n] 的 $z$z 变换 $ROC$ROC 内，那么点 $1/z_0$1/z0​ 就在 $x[-n]$x[−n] 的 $z$z 变换 $ROC$ROC 内。

4.5. 时间扩展

若令 $k$k 是一个正整数，并且定义

$\tag{16} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &amp;\text 当\space n \space为\space k\space的整数倍 \\ 0, &amp;\text 当\space n \space不为\space k\space的整数倍 \end{cases}$x(k)​[n]={x[n/k]0,​当 n 为 k 的整数倍当 n 不为 k 的整数倍​(16)

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$x[n]↔zX(z)ROC=R

则

$\tag{17} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z^k) \quad ROC=R^{1/k} }$x(k)​[n]↔zX(zk)ROC=R1/k​(17)

这就是说，若 $z$z 是在 $X(z)$X(z) 的 $ROC$ROC 内，那么点 $z^{1/k}$z1/k 就在 $X(z^k)$X(zk) 的 $ROC$ROC 内。

4.6. 共轭

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$x[n]↔zX(z)ROC=R

则

$\tag{18} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X^*(z^*) \quad ROC=R }$x∗[n]↔zX∗(z∗)ROC=R​(18)

4.7. 卷积性质

若

$x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1$x1​[n]↔zX1​(z)ROC=R1​

和

$x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2$x2​[n]↔zX2​(z)ROC=R2​

则

$\tag{19} \boxed{ x_1[n] * x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}$x1​[n]∗x2​[n]↔zX1​(z)X2​(z)ROC 包括 R1​∩R2​​(19)

4.8. $z$z 域微分

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$x[n]↔zX(z)ROC=R

则

$\tag{20} \boxed{ nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz} \quad ROC=R }$nx[n]↔z−zdzdX(z)​ROC=R​(20)

4.9. 初值定理

若 $n &lt;0, x[n]=0$n<0,x[n]=0，则

$\tag{21} x[0] = \lim_{z\to \infty}X(z)$x[0]=z→∞lim​X(z)(21)

4.10. 终值定理

若 $n &lt;0, x[n]=0$n<0,x[n]=0，其 $z$z 变换的极点，除可以有一个一阶极点在 $z=1$z=1 上，其它极点均在单位圆内，则

$\tag{21} \lim_{n\to \infty}x[n] = \lim_{z\to 1}(z-1)X(z)$n→∞lim​x[n]=z→1lim​(z−1)X(z)(21)

4.11. 性质小结

4.12. 几个常用的 $z$z 变换对

5. 利用 $z$z 变换分析与表征线性时不变系统

在离散时间 $LTI$LTI 系统的分析和表示中，$z$z 变换有其特别重要的作用，由卷积性质可得

$\tag{23} Y(z) = H(z) X(z)$Y(z)=H(z)X(z)(23)

式中 $X(z)、Y(z) 、H(z)$X(z)、Y(z)、H(z) 分别是系统输入、输出和单位脉冲响应的$z$z 变换 。$H(z)$H(z) 称为系统的系统函数或转移函数。

5.1. 因果性

一个因果 $LTI$LTI 系统其单位脉冲响应 $h[n]$h[n]是对于 $n&lt;0，h[n] = 0$n<0，h[n]=0，因此是一个右边序列。由性质 4 知道 $H(z)$H(z) 的 $ROC$ROC 是位于 $z$z 平面内某一个圆的外边。由性质 8 可知，对于一个因果序列，这个幂级数中，

$\tag{24} H(z) =\sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n}$H(z)=n=0∑∞​h[n]z−n(24)

不包含任何 $z$z 的正幂次项，因此 $ROC$ROC 包括无限远点。综上所述，就得出如下属性：

一个离散时间 $LTI$LTI 系统当且仅当它的系统函数的 $ROC$ROC 是在某一个圆的外边，且包括无限远点，该系统就是因果的。

如果 $H(z)$H(z) 是有理的，那么该系统要是因果的，其 $ROC$ROC 必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在 $ROC$ROC 内；等效地说，随 $z\to \infty$z→∞ 时， $H(z)$H(z) 的极限必须是有限的。这就等效于，当 $H(z)$H(z) 的分子和分母都是表示成的 $z$z 的多项式时，其分子的阶次不会大于分母的阶次。即

一个具有有理系统函数 $H(z)$H(z) 的 $LTI$LTI 系统要是因果的，当且仅当：(1) $ROC$ROC 位于最外层极点某一个圆的外面；和 (2) 若 $H(z)$H(z) 表示成 $z$z 的多项式之比，其分子的阶次不能大于分母的阶次。

5.2. 稳定性

一个离散时间 $LTI$LTI 系统的稳定性就等效于它的单位脉冲响应是绝对可和的，在这种情况下， $h[n]$h[n] 的傅里叶变换收敛，结果就是 $H(z)$H(z) 的 $ROC$ROC 必须包括单位圆。综上所述，可得如下结果：

一个 $LTI$LTI 系统当且仅当它的系统函数 $H(z)$H(z) 的 $ROC$ROC 包括单位圆，该系统就是稳定的。

对于一个具有有理系统函数的因果系统而言，$ROC$ROC 位于最外层极点的外边。对于这个包括单位圆的 $ROC$ROC ，系统的全部极点都必须位于单位圆内，即

一个具有有理系统函数的因果 $LTI$LTI 系统，当且仅当 $H(z)$H(z) 的全部极点都位于单位圆内时，也即全部极点模均小于 1 时，系统就是稳定的。

5.3. 由线性常系数差分方程表征的 $LTI$LTI 系统

对于一般的 $N$N 阶差分方程，可以对方程两边进行 $z$z 变换，并利用线性和时移性质。现考虑一个 $LTI$LTI 系统，其输入、输出满足如下线性常系数差分方程：

$\tag{25} \sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]$k=0∑N​ak​y[n−k]=k=0∑M​bk​x[n−k](25)

对式（25）两边取 $z$z 变换，可得

$\tag{26} \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}Y(z) = \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}X(z)$k=0∑N​ak​z−kY(z)=k=0∑M​bk​z−kX(z)(26)

这样就有

$\tag{27} H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\displaystyle \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}}$H(z)=X(z)Y(z)​=k=0∑N​ak​z−kk=0∑M​bk​z−k​(27)

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