齐次坐标系（homogeneous coordinates）

问题：两个平行的直线能够相交

在欧式几何空间中，两条平行的直线是不能相交的，然而，在投影空间中，是可以相交的。比如下图的铁路，在无穷远的地方交为一点。

欧式几个空间（或称为笛卡尔空间）能够很好地描述2/3维几何模型，但是不能很好地解决投影空间。实际上欧式几何是投影几何的一个子集。

例如在笛卡尔坐标系中，一个2维点可以表示为$(x,y)$(x,y)。如果这个点事无穷远，该怎么表示呢？无穷远的点应该表示为$(\infty,\infty)$(∞,∞)，这样的表示毫无意义。

投影空间中，两个平行的直线相交于无穷远的一点，这在欧式空间中是无法表示的，但是数学家们已经找到了方法来解决这个问题。

解决方法：齐次坐标系(homogenous coordinates)

齐次坐标系将N维坐标用N+1个数字来表示。

例如，将一个2维点用齐次坐标系来表示，我们只需要添加一个$w$w。这时，笛卡尔坐标系中的点$(X,Y)$(X,Y)就变成了齐次坐标系中的$(x,y,w)$(x,y,w)。它们的对应关系如下：
$\begin{aligned} X &= x/w \\ Y &= y/w \end{aligned}$XY​=x/w=y/w​

举一个具体的例子，笛卡尔坐标系中的二维点$(1,2)$(1,2),在齐次坐标系中可以表示为$1,2,1$1,2,1。如果点$(1,2)$(1,2)移动到无限远$(\infty,\infty)$(∞,∞)，那么在齐次坐标系中就变为$(1,2,0)$(1,2,0)。
注意，我们可以不使用$\infty$∞，表示无限远的点了。

为什么称为“齐次”（homogenous）?

按前面所说，笛卡尔坐标系与齐次坐标系的变化公式是：

下面看一个例子：

正如例子所表述的，齐次坐标系中的任何标量乘法都表示欧式空间中的同一个点，即：
$a*(x,y,w) => (X,Y)$a∗(x,y,w)=>(X,Y)
也就是说齐次坐标系具有缩放不变性。

证明：两个平行的直线可以相交

考虑欧式空间中的两个平行直线

我们知道，如果$C\neq D$C​=D，方程是没有解的，也就是说两条平行的直线没有交点。

我们可以引入$w$w，使用齐次坐标系来重写方程：

这个方程的解是：$(x,y,0)$(x,y,0)，因此两条直线相交于点$(x,y,0)$(x,y,0)，也就是无穷远的点。

总结

齐次坐标系在计算机图像领域非常有用，比如将3维物体投影到2维平面中。