Fourier Transform 傅立叶变换 学习笔记 Part 1

在前面的三部分中 Fourier Series始终是有周期的，无论表示成什么形式，始终与周期有关。

这句话始终深深的印在我的脑海里，傅立叶变换也就出现了。
想法就是一个非周期函数h(t)，用一个无穷大的周期取重复它自己。

定义

我本想翻译一下，但是感觉没什么意义

维基百科

逆变换：

和之前的傅立叶级数对比：
是$\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$ω0​=T2π​=2πf.傅立叶展开式是：

$H_{n}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} h(t) e^{in\omega_{0}t }$Hn​=T1​∫t0​t0​+T​h(t)einω0​t

$h(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} H_{n} e^{-in\omega_{0}t}$h(t)=∑n=−∞∞​Hn​e−inω0​t

性质

1

线性性质 Linearity

积分的线性性质决定了这个性质
对比课件和维基百科，我觉得这部分课件更好一点。证明非常的清晰。

2

证明

一个简单的换元

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Parseval Theorem

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| ^{2}dt=\int_{-\infty}^{\infty} |H(f)| ^{2}df$∫−∞∞​∣h(t)∣2dt=∫−∞∞​∣H(f)∣2df

卷积 convolution

$y(t)=h(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)g(\tau)d\tau$y(t)=h(t)∗g(t)=∫−∞∞​h(t−τ)g(τ)dτ

这个定理看起来也非常特别。

相关性 correlation

$y(t)=Corr(h(t),g(t))=\int_{-\infty}^{\infty}h(t+\tau)g(\tau)d\tau$y(t)=Corr(h(t),g(t))=∫−∞∞​h(t+τ)g(τ)dτ

自相关Autocorrelation

$y(t)=Corr(h(t),h(t))=\int_{-\infty}^{\infty}h(t+\tau)h(\tau)d\tau$y(t)=Corr(h(t),h(t))=∫−∞∞​h(t+τ)h(τ)dτ

Wiener-Khinchin Theorem
for real function h

傅立叶变换的基础已经写完了，下面是我完全不懂的区域。