【CG】透视变换(Perspective Transformation)

• 起源
• 透视与消失点
  • • 单点透视 - 1 个消失点
    • 两点透视 - 2个消失点
    • 三点透视 - 3个消失点
• 透视投影变换
• 透视变换矩阵
• 透视变换矩阵与 Homography、相机内参的关系
• 透视与车载环境的联系
• Ref

起源

透视与消失点

不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为消失点(Vanishing point)。

单点透视 - 1 个消失点

两点透视 - 2个消失点

三点透视 - 3个消失点

透视投影变换

从视点（投影中心）发出的所有通过对象(景)的射线和投影平面的交点形成三维立体的“像”，就是透视投影。
这是人眼，针孔相机的观察视角，所以尤其重要。

透视变换矩阵

对于单目透视

注意这里透视变换矩阵是右乘形式。
三目透视的话，

产生的三个灭点将分别位于Ｘ轴上的1/p处、Ｙ轴上的 1/q 处和Ｚ轴上的 1/r 处。

透视变换矩阵与 Homography、相机内参的关系

上面推导的透视变换矩阵是投影平面与物体表面平行的特殊情况，这种情况也被成为正透视投影。如果物体表面与投影平面不平行呢？那么就是上面透视变换矩阵中为0 的元素不一定为0 了，为1 的元素不一定为 1了。那么就成了标准的三维物体到二维图像的成像模型，矩阵依然是 4×4$4\times 4$的。

那么如果我们把物体表面当成一个平面来考虑呢？那就变成了图像到图像的透视变换了。透视矩阵也塌缩为一个 3×3$3\times 3$的矩阵。这不就是 Homography 吗？！从这个角度重新考虑 Homography，所谓的两个平面的对应关系，不就是源图像摆放好，目标图像所在平面做投影平面来透视观察源图像、随着投影平面角度距离的变化呈现不同的目标图像吗？！

同时，这个 3×3$3\times 3$ 的矩阵就是相机的内参！只是，

• 对于已经成像好的图像而言，右边的坐标点是 [u,v,1]T$[u,v,1{]}^T$
• 而对于相机成像而言，右边的点是有深度信息的，即 [x,y,z]T$[x,y,z{]}^T$,除以 z$z$, 二者就一样了。
• 这实际上反映了，对三维世界进行二维成像的时候丢失的深度信息，同时也是利用二维图像进行三维重建的时候要恢复的深度信息

透视与车载环境的联系

• 前装摄像头就是单目透视成像，对车载环境而言，天空与路面就是两个平行面。平行面在远处相交，就是地平线。

Ref

• 什么是透视点和消失点功能：从最初绘画到近代摄影的应用，结合Photoshop具体实例，讲解的通俗清晰
• 逆透视变换详解及MATLAB 代码实现 : 对应实际的车载应用场景
• 透视变换 Perspective Transformation: 2D图像透视变换矩阵解析，续篇 讲 OpenCV 的实现与对应的Homography求解