开关电源学习笔记5 --- DC-DC变换器的储能电感设计之三种变换器的电感体积估算

首先，计算电感储能量（用到笔记4的电磁学知识）

根据$E = \frac{1}{2}LI^{2} = \frac{1}{2}LI × I$E=21​LI2=21​LI×I

$H× L_{e} = N ×I \Rightarrow I = \frac{H × L_{e}}{N} \Rightarrow$H×Le​=N×I⇒I=NH×Le​​⇒ $I = \frac{B × L_{e}}{\mu_{e} \mu_{0} N}$I=μe​μ0​NB×Le​​ ①

$L × \Delta I = N × A_{e} × \mu\Delta H$L×ΔI=N×Ae​×μΔH ②

把①②式带入E得：$E = \frac{1}{2} × N × A_{e} × \mu\Delta H × \frac{B × L_{e}}{\mu_{e} \mu_{0} N} = \frac{B^{2} × L_{e} × A_{e}}{2\mu_{e} \mu_{0}}$E=21​×N×Ae​×μΔH×μe​μ0​NB×Le​​=2μe​μ0​B2×Le​×Ae​​

$L_{e}$Le​为磁芯磁路的有效长度，$A_{e}$Ae​为截面积，故$V_{e} = L_{e} × A_{e}$Ve​=Le​×Ae​为磁芯的有效体积

所以电感储能 $E = \frac{B^{2} × V_{e}}{2\mu_{e} \mu_{0}}$E=2μe​μ0​B2×Ve​​

1. Buck - Boost变换器中

由于电流越大，磁感应强度B就越大（毕奥-萨伐尔定律），电流与磁感应强度的变化趋势相同，即在$T_{on}$Ton​期间，$I_{Lmin}$ILmin​对应$B_{min}$Bmin​，$I_{Lmax}$ILmax​对应$B_{max}$Bmax​，所以在$T_{on}$Ton​或者$T_{off}$Toff​期间，$\Delta B = B_{max} - B_{min}$ΔB=Bmax​−Bmin​，对应的$\Delta E = \frac{B_{max}^{2} × V_{e}}{2\mu_{e} \mu_{0}} - \frac{B_{min}^{2} × V_{e}}{2\mu_{e} \mu_{0}} = \frac{V_e}{\mu_{e}\mu_{0}} × \frac{B_{max} + B_{min}}{2} × (B_{max} - B_{min}) = \frac{V_e}{\mu_{e}\mu_{0}}\Delta B × B_{DC}$ΔE=2μe​μ0​Bmax2​×Ve​​−2μe​μ0​Bmin2​×Ve​​=μe​μ0​Ve​​×2Bmax​+Bmin​​×(Bmax​−Bmin​)=μe​μ0​Ve​​ΔB×BDC​
（$B_{DC}$BDC​为平均磁感应强度）

Buck - Boost变换器在$T_{on}$Ton​期间，电感充能，$T_{off}$Toff​期间，电感放能
所以$\Delta E$ΔE等于$T_{on}$Ton​期间电源的输入能量
$\Delta E = U_{in} × I_{L} × T_{on} = U_{in} × I_{L} × D × T = U_{in} × I_{in} × T = \frac{P_{in}}{f_{sw}}$ΔE=Uin​×IL​×Ton​=Uin​×IL​×D×T=Uin​×Iin​×T=fsw​Pin​​
$(I_{in} = I_{L} × D)$(Iin​=IL​×D)
代入：$\Delta E = \frac{V_e}{\mu_{e}\mu_{0}}\Delta B × B_{DC}$ΔE=μe​μ0​Ve​​ΔB×BDC​

得到电感磁芯有效体积$V_{e} = \frac{\mu_{e} × \mu_{0}}{\Delta B × B_{DC}} × \frac{P_{in}}{f_{sw}}$Ve​=ΔB×BDC​μe​×μ0​​×fsw​Pin​​

2. Buck 变换器中

开关闭合$T_{on}$Ton​期间电源除了给电感“充电”，还用来驱动负载
$U_{in} × I_{L} × T_{on} = \Delta E + U_{o} × I_{L} × T_{on}$Uin​×IL​×Ton​=ΔE+Uo​×IL​×Ton​
由笔记1的 “伏秒积”平衡可知 $U_{o} = D × U_{in}$Uo​=D×Uin​
$\Delta E = (U_{o} - U_{in}) × I_{L} × T_{on} = (1 - D) × U_{in} × I_{L} × D × T = (1 - D) × U_{in} × I_{in} × T = (1 - D) × \frac{P_{in}}{f_{sw}}$ΔE=(Uo​−Uin​)×IL​×Ton​=(1−D)×Uin​×IL​×D×T=(1−D)×Uin​×Iin​×T=(1−D)×fsw​Pin​​
代入：$\Delta E = \frac{V_e}{\mu_{e}\mu_{0}}\Delta B × B_{DC}$ΔE=μe​μ0​Ve​​ΔB×BDC​

得：$V_{e} = \frac{\mu_{e} × \mu_{0}}{\Delta B × B_{DC}} × \frac{P_{in}}{f_{sw}} × (1 - D)$Ve​=ΔB×BDC​μe​×μ0​​×fsw​Pin​​×(1−D)

3. Boost变换器中

$T_{on}$Ton​期间，电感充能
$\Delta E = U_{in} × I_{L} × T_{on} = U_{in} × I_{in} × D × T = \frac{P_{in}}{f_{sw}} × D$ΔE=Uin​×IL​×Ton​=Uin​×Iin​×D×T=fsw​Pin​​×D
$(I_{in} = I_{L})$(Iin​=IL​)
代入：$\Delta E = \frac{V_e}{\mu_{e}\mu_{0}}\Delta B × B_{DC}$ΔE=μe​μ0​Ve​​ΔB×BDC​

得：$V_{e} = \frac{\mu_{e} × \mu_{0}}{\Delta B × B_{DC}} × \frac{P_{in}}{f_{sw}} × D$Ve​=ΔB×BDC​μe​×μ0​​×fsw​Pin​​×D

综上

三个变换器中的$V_{e}$Ve​相比较可知，各参数相同时，Buck - Boost变换器的电感体积最大，所以实际设计中应尽可能使用Buck和Boost