信号与系统（3.1）- RLC 串联电路的零输入响应

信号与系统（3.1）- RLC 串联电路的零输入响应

RLC电路也称为二阶电路，即由二阶微分方程进行描述的电路。RLC电路是最基本的电路之一，通过对RLC电路的理解，可以为之后的学习，如振荡器，滤波器等提供参考和学习思路上的引导。因为RLC电路不属于信号与系统这个学科的重点研究范围，所以将这一部分内容设置为线性系统时域分析的番外篇，3.1讲述RLC串联电路的相关内容，3.2讲述RLC并联电路的相关内容。

仿真将用到MultisimLive进行仿真，以验证计算结果的正确性，MultisimLive是National Instruments（NI）公司研发的一款在线仿真工具。相对桌面版的Multisim，在线版的功能较少，并且免费版仅支持瞬态分析，交流扫描和直流工作点分析。对于结果的计算将使用Desmos在线画图工具进行画图，用以对比仿真结果。

1. 如何构建RLC串联电路的微分方程？

RLC串联电路如下图所示：

因为是零输入相应，因此将电压源去除，由KVL可知：
u l + u c + u r = 0 u_l+u_c+u_r=0 ul​+uc​+ur​=0
其中 u l u_l ul​， u c u_c uc​， u r u_r ur​分别是电感、电容和电阻两端的电压， i ( t ) i(t) i(t)表示串联电路中的电流。

将动态元件的伏安关系：
i ( t ) = C d d t u c ( t ) ,    i ( t ) = 1 L ∫ − ∞ t u l d t ,    u c = 1 C ∫ − ∞ t i ( t ) d t ,    u l = L d d t i ( t ) i(t)=C\frac{d}{dt}u_c(t),\space\space i(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^tu_ldt,\space \space u_c=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^ti(t)dt,\space\space u_l=L\frac{d}{dt}i(t) i(t)=Cdtd​uc​(t),  i(t)=L1​∫−∞t​ul​dt,  uc​=C1​∫−∞t​i(t)dt,  ul​=Ldtd​i(t)
带入KVL方程 u l + u c + u r = 0 u_l+u_c+u_r=0 ul​+uc​+ur​=0即可得此RLC串联电路的二阶微分方程：
L C d 2 d t 2 u c ( t ) + R C d d t u c ( t ) + u c = 0 LC\frac{d^2}{dt^2}u_c(t)+RC\frac{d}{dt}u_c(t)+u_c = 0 LCdt2d2​uc​(t)+RCdtd​uc​(t)+uc​=0

2. 如何求RLC串联电路的零输入响应？

零输入响应的微分方程为：
L C d 2 d t 2 u c ( t ) + R C d d t u c ( t ) + u c = 0 LC\frac{d^2}{dt^2}u_c(t)+RC\frac{d}{dt}u_c(t)+u_c = 0 LCdt2d2​uc​(t)+RCdtd​uc​(t)+uc​=0
进而的到其特征方程：
L C λ 2 + R C λ + 1 = 0 LC\lambda^2 +RC\lambda + 1 = 0 LCλ2+RCλ+1=0
解得特征根为：
λ 1 = − R 2 L − ( R C ) 2 − 4 L C 2 L C ,    λ 2 = − R 2 L + ( R C ) 2 − 4 L C 2 L C \lambda_1=-\frac{R}{2L}-\frac{\sqrt{(RC)^2-4LC}}{2LC}, \space \space \lambda_2=-\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{(RC)^2-4LC}}{2LC} λ1​=−2LR​−2LC(RC)2−4LC ​​,  λ2​=−2LR​+2LC(RC)2−4LC ​​
可以看出，零输入响应的待定系数形式取决于 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] [(RC)^2-4LC] [(RC)2−4LC]的情况：

• 若 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] = 0 [(RC)^2-4LC]=0 [(RC)2−4LC]=0，此特征方程具有两个相等的实数根；
• 若 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] > 0 [(RC)^2-4LC]>0 [(RC)2−4LC]>0，则此特征方程具有两个不相等的实数根；
• 若 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] < 0 [(RC)^2-4LC]<0 [(RC)2−4LC]<0，则特征方程具有共轭复根。

这里回顾齐次方程的通解形式：

1. 当特征根是不相等的实根 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n λ1​,λ2​,⋯,λn​时：
   r z i ( t ) = A 1 e λ 1 t + A 2 e λ 2 t + ⋯ + A n e λ n t r_{zi}(t)=A_1e^{\lambda_1t}+A_2e^{\lambda_2t}+\cdots+A_ne^{\lambda_nt} rzi​(t)=A1​eλ1​t+A2​eλ2​t+⋯+An​eλn​t

2. 当特征根是相等的实根 λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ n = λ \lambda_1= \lambda_2= \cdots= \lambda_n=\lambda λ1​=λ2​=⋯=λn​=λ时：
   r z i ( t ) = ( A 1 + A 2 t + ⋯ + A n t n − 1 ) e λ t r_{zi}(t)=(A_1+A_2t+\cdots +A_nt^{n-1})e^{\lambda t} rzi​(t)=(A1​+A2​t+⋯+An​tn−1)eλt

3. 当特征根是一对共轭复根 λ 1 = α + j ω ， λ 2 = α − j ω \lambda_1=\alpha + j\omega，\lambda_2=\alpha - j\omega λ1​=α+jω，λ2​=α−jω时：
   r z i ( t ) = e α t ( A 1 c o s ω t + A 2 s i n ω t ) r_{zi}(t)=e^{\alpha t}(A_1cos\omega t+A_2sin\omega t) rzi​(t)=eαt(A1​cosωt+A2​sinωt)

下面依次讨论这三种情况：

2.1 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] > 0 [(RC)^2-4LC]>0 [(RC)2−4LC]>0，特征方程具有两个不相等的实数根

若 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] > 0 [(RC)^2-4LC]>0 [(RC)2−4LC]>0，根据通解形式，零输入响应的待定系数形式解为：（注意这里的响应是 u c u_c uc​）
u c , z i ( t ) = A 1 e ( − R 2 L − ( R C ) 2 − 4 L C 2 L C ) t + A 2 e ( − R 2 L + ( R C ) 2 − 4 L C 2 L C ) t u_{c,zi}(t)=A_1e^{(-\frac{R}{2L}-\frac{\sqrt{(RC)^2-4LC}}{2LC}) t}+A_2e^{(-\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{(RC)^2-4LC}}{2LC}) t} uc,zi​(t)=A1​e(−2LR​−2LC(RC)2−4LC ​​)t+A2​e(−2LR​+2LC(RC)2−4LC ​​)t
其中系数 A 1 A_1 A1​和 A 2 A_2 A2​由初始条件，即 i l ( 0 ) i_l(0) il​(0)和 u c ( 0 ) u_c(0) uc​(0)确定。

举例：若 R = 3 Ω ， L = 0.5 H ， C = 0.25 F R=3\Omega ，L=0.5H，C=0.25F R=3Ω，L=0.5H，C=0.25F，且 u c ( 0 ) = 2 V ， i l ( 0 ) = 1 A u_c(0)=2V，i_l(0)=1A uc​(0)=2V，il​(0)=1A，则电路的电压零输入响应为：
u c , z i ( t ) = ( 6 e − 2 t − 4 e − 4 t ) ， t ≥ 0 u_{c,zi}(t)=(6e^{-2t}-4e^{-4t})，t\geq0 uc,zi​(t)=(6e−2t−4e−4t)，t≥0
根据 i ( t ) = C d d t u c ( t ) i(t)=C\frac{d}{dt}u_c(t) i(t)=Cdtd​uc​(t)，电路电流的零输入响应为：
i l , z i ( t ) = i c , z i ( t ) = C d u c d t = ( − 3 e − 2 t + 4 e − 4 t ) , t ≥ 0 i_{l,zi}(t)=i_{c,zi}(t)=C\frac{du_c}{dt}=(-3e^{-2t}+4e^{-4t}), t\geq0 il,zi​(t)=ic,zi​(t)=Cdtduc​​=(−3e−2t+4e−4t),t≥0
对电路的*计算结果如下：

1. 电容电压 u c , z i ( t ) = ( 6 e − 2 t − 4 e − 4 t ) ， t ≥ 0 u_{c,zi}(t)=(6e^{-2t}-4e^{-4t})，t\geq0 uc,zi​(t)=(6e−2t−4e−4t)，t≥0

2. 回路电流 i l , z i ( t ) = ( − 3 e − 2 t + 4 e − 4 t ) , t ≥ 0 i_{l,zi}(t)=(-3e^{-2t}+4e^{-4t}), t\geq0 il,zi​(t)=(−3e−2t+4e−4t),t≥0

   

对电路的仿真结果如下：

其中绿色实线代表电容两端的电压响应，也就是待求的零输入响应。蓝色虚线是流经电容的电流。

从仿真和计算结果可以看出，将电路的输入信号（激励信号）置零后，零输入响应是电容的初始储能和电感的初始储能共同作用的响应。由于电阻的存在，能量会被消耗，因此最终电压和电流趋于0。

2.2 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] = 0 [(RC)^2-4LC]=0 [(RC)2−4LC]=0，特征方程具有两个相等的实数根

若 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] = 0 [(RC)^2-4LC]=0 [(RC)2−4LC]=0，根据通解形式，零输入响应的待定系数形式解为：（注意这里的响应是 u c u_c uc​）
u c , z i ( t ) = A 1 e ( − R 2 L ) t + A 2 t e ( − R 2 L ) t u_{c,zi}(t)=A_1e^{(-\frac{R}{2L}) t}+A_2te^{(-\frac{R}{2L}) t} uc,zi​(t)=A1​e(−2LR​)t+A2​te(−2LR​)t
其中系数 A 1 A_1 A1​和 A 2 A_2 A2​由初始条件，即 i l ( 0 ) i_l(0) il​(0)和 u c ( 0 ) u_c(0) uc​(0)确定。

举例：若 R = 1 Ω ， L = 0.25 H ， C = 1 F R=1\Omega ，L=0.25H，C=1F R=1Ω，L=0.25H，C=1F，且 u c ( 0 ) = − 1 V ， i l ( 0 ) = 0 A u_c(0)=-1V，i_l(0)=0A uc​(0)=−1V，il​(0)=0A，则电路的电压零输入响应为：
u c , z i ( t ) = ( − e − 2 t − 2 t e − 2 t ) ， t ≥ 0 u_{c,zi}(t)=(-e^{-2t}-2te^{-2t})，t\geq0 uc,zi​(t)=(−e−2t−2te−2t)，t≥0
根据 i ( t ) = C d d t u c ( t ) i(t)=C\frac{d}{dt}u_c(t) i(t)=Cdtd​uc​(t)，电路电流的零输入响应为：
i l , z i ( t ) = i c , z i ( t ) = C d u c d t = 4 t e − 2 t , t ≥ 0 i_{l,zi}(t)=i_{c,zi}(t)=C\frac{du_c}{dt}=4te^{-2t}, t\geq0 il,zi​(t)=ic,zi​(t)=Cdtduc​​=4te−2t,t≥0
对电路的计算结果如下：

上图中蓝色为电路中回路的响应电流，红色为电容两端的电压响应。

对电路的仿真结果如下：

上图蓝色虚线为电路中回路电流的响应，绿色为电容两端电压的响应。

2.3 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] < 0 [(RC)^2-4LC]<0 [(RC)2−4LC]<0，特征方程具有共轭复根

若 [ ( R C ) 2 − 4 L C ] < 0 [(RC)^2-4LC]<0 [(RC)2−4LC]<0，则特征方程具有共轭复根 λ 1 = α + j ω ， λ 2 = α − j ω \lambda_1=\alpha + j\omega，\lambda_2=\alpha - j\omega λ1​=α+jω，λ2​=α−jω，根据通解形式，零输入响应的待定系数形式解为：（注意这里的响应是 u c u_c uc​）
u c , z i ( t ) = e − R 2 L t [ A 1 c o s ω t + A 2 s i n ω t ] u_{c,zi}(t)=e^{-\frac{R}{2L}t}[A_1cos\omega t+ A_2sin\omega t] uc,zi​(t)=e−2LR​t[A1​cosωt+A2​sinωt]
其中系数 A 1 A_1 A1​和 A 2 A_2 A2​由初始条件，即 i l ( 0 ) i_l(0) il​(0)和 u c ( 0 ) u_c(0) uc​(0)确定。

其中
ω = ∣ ( R C ) 2 − 4 L C ∣ 2 L C ,    α = − R 2 L \omega = \frac{\sqrt{|(RC)^2-4LC}|}{2LC}, \space \space\alpha=-\frac{R}{2L} ω=2LC∣(RC)2−4LC ​∣​,  α=−2LR​
举例：若 R = 6 Ω ， L = 1 H ， C = 0.04 F R=6\Omega ，L=1H，C=0.04F R=6Ω，L=1H，C=0.04F，且 u c ( 0 ) = 3 V ， i l ( 0 ) = 0.28 A u_c(0)=3V，i_l(0)=0.28A uc​(0)=3V，il​(0)=0.28A

求得特征根为：
λ 1 , 2 = − 3 ± j 4 \lambda_{1,2}=-3\pm j4 λ1,2​=−3±j4
则形式通解为：
u c , z i ( t ) = e − 3 t [ A 1 c o s 4 t + A 2 s i n ( 4 t ) ] u_{c,zi}(t)=e^{-3t}[A_1cos4t+A_2sin(4t)] uc,zi​(t)=e−3t[A1​cos4t+A2​sin(4t)]
通过初始条件 u c ( 0 ) = 3 V ， i l ( 0 ) = 0.28 A u_c(0)=3V，i_l(0)=0.28A uc​(0)=3V，il​(0)=0.28A得系数 A 1 = 3 , A 2 = 4 A_1=3, A_2=4 A1​=3,A2​=4，则零输入响应为
u c , z i ( t ) = e − 3 t [ 3 c o s 4 t + 4 s i n ( 4 t ) ] ， t ≥ 0 u_{c,zi}(t)=e^{-3t}[3cos4t+4sin(4t)]，t\geq0 uc,zi​(t)=e−3t[3cos4t+4sin(4t)]，t≥0
根据 i ( t ) = C d d t u c ( t ) i(t)=C\frac{d}{dt}u_c(t) i(t)=Cdtd​uc​(t)，电路电流的零输入响应为：
i l , z i ( t ) = i c , z i ( t ) = C d u c d t = 0.04 e − 3 t [ 7 c o s ( 4 t ) − 24 s i n ( 4 t ) ] , t ≥ 0 i_{l,zi}(t)=i_{c,zi}(t)=C\frac{du_c}{dt}=0.04e^{-3t}[7cos(4t)-24sin(4t)], t\geq0 il,zi​(t)=ic,zi​(t)=Cdtduc​​=0.04e−3t[7cos(4t)−24sin(4t)],t≥0
对电路的计算结果如下：

上图中蓝色为电路中回路的响应电流，红色为电容两端的电压响应。

对电路的仿真结果如下：

上图蓝色虚线为电路中回路电流的响应，绿色为电容两端电压的响应。

因此可以看出，当电路的参数不同时，电路的零输入响应也会不同，根据控制理论的相关知识：

• [ ( R C ) 2 − 4 L C ] > 0 [(RC)^2-4LC]>0 [(RC)2−4LC]>0，有两个不同的实数根，称为过阻尼状态
• [ ( R C ) 2 − 4 L C ] = 0 [(RC)^2-4LC]= 0 [(RC)2−4LC]=0，有两个相同的实数根，称为临界阻尼状态
• [ ( R C ) 2 − 4 L C ] < 0 [(RC)^2-4LC]< 0 [(RC)2−4LC]<0，有共轭复根，称为欠阻尼状态，若特征根的实部为零，则称为无阻尼状态

在欠阻尼状态下，若特征根的实部为零，即 λ 1 = 0 + j ω ， λ 2 = 0 − j ω \lambda_1=0 + j\omega，\lambda_2=0 - j\omega λ1​=0+jω，λ2​=0−jω，则系统中的电阻R为0，系统没有能量损耗，此时的电路发生等幅振荡，振荡的频率为 f = 1 2 π R C f=\frac{1}{2\pi RC} f=2πRC1​，振荡的幅值又动态元件的初始条件决定。这样的电路也称为RC振荡电路。

举例：若 R = 0 Ω ， L = 1 H ， C = 0.04 F R=0\Omega ，L=1H，C=0.04F R=0Ω，L=1H，C=0.04F，且 u c ( 0 ) = 3 V ， i l ( 0 ) = 0.28 A u_c(0)=3V，i_l(0)=0.28A uc​(0)=3V，il​(0)=0.28A

则解得的电压和电流的零输入响应分别是：
u c , z i ( t ) = [ 3 c o s ( 5 t ) + 1.4 s i n ( 5 t ) ] = 3.31 c o s ( 5 t − 2 5 ∘ ) ， t ≥ 0 u_{c,zi}(t)=[3cos(5t)+1.4sin(5t)]=3.31cos(5t-25^{\circ}) ，t\geq0 uc,zi​(t)=[3cos(5t)+1.4sin(5t)]=3.31cos(5t−25∘)，t≥0
i l , z i ( t ) = 0.04 [ 7 c o s ( 5 t ) − 15 s i n ( 5 t ) ] = 0.66 c o s ( 5 t + 6 5 ∘ ) ， t ≥ 0 i_{l,zi}(t)=0.04[7cos(5t)-15sin(5t)]=0.66cos(5t+65^{\circ})， t\geq0 il,zi​(t)=0.04[7cos(5t)−15sin(5t)]=0.66cos(5t+65∘)，t≥0

其仿真结果如下：

其中蓝色虚线为回路电流的零输入响应，绿色实线为电容两端电压的零输入响应，

由仿真结果可知，当回路电阻为零时，电路的初始能量不会损耗，并且将在电容和电感之间交换，形成等幅振荡。电容电压和流经电容的电流相位差为90度，即当电容电压为零时，电感电流达到最大值，能量均储存在电感中，当电感电流为零时，电容电压达到最大值，能量均储存在电容中。

不同的电路参数对应的响应如下：

共轭复根的实部称为衰减系数，衰减系数越大，则衰减的越快。系统的行为也可以通过零极点的方式分析，这部分内容将在之后的讨论中说明。

RLC串联电路非常的基础，但是这个电路的背后涉及的到的概念非常广泛，从电路分析理论，信号与系统，自动控制理论，模拟电子技术等等学科中，往往均会使用RLC串联电路进行举例说明概念，所以RLC串联电路有着承上启下，抛砖引玉的作用。掌握清晰RLC串联电路的工作原理和计算过程，有助于对后续知识的理解。