引言
树作为可以大幅度缩小查找时间复杂度的数据结构，有很多变种。我们熟悉的二叉查找树查找的时间复杂度为O(logN)。为了维持二叉树的高度，人们开发出了平衡二叉树，这样能够将搜索的时间复杂度控制在O(logN)。然而平衡二叉查找树为了维持平衡，需要不断检测自己的结构是否平衡，若非平衡结构，则需要不断维护结构达到新的平衡，动态插入和删除的代价也随之增加。另外，二叉查找树虽然在时间复杂度方面表现很出色，但是会涉及到比较高的磁盘IO成本。当大量数据存储时，如果每次磁盘IO只得到一个节点的数据，二叉查找树将会有巨量的磁盘IO次数，造成巨大的代价。为了减少磁盘IO次数，必须降低树的深度，有两个思路。
（1）二叉树变为多叉树减小树的深度。
（2）将多个数据存储于一个一个节点中
B树
B树的定义
根据《算法导论》中的定义，设 t 为B树的最小度，一颗最小度为 t 的B树满足以下条件：
- 每个节点最少包含 t - 1 个数据，最多包含 2t - 1 个数据，根节点至少包括1个数据。
- 每个节点中的数据都按照非降序排列。
- 每个节点中的数据都会完成对子树的范围切割。若节点有 n 个数据，则会有 n + 1 个指针指向 n + 1 个子树。
- 所有叶子节点的深度是一样的，为树的高度，代表着B树的平衡。
B树结构：
通常我们都将节点容量设置为数据表一页的大小，这样每次磁盘IO读取一个节点内的数据，正好会是一页的数据。B树正是通过这样的手段有效减少节点数，从而减少磁盘IO次数，从而提高在大量数据情况下的查找效率。
搜索
这里引用博客从B树、B+树、B*树谈到R 树中的B树图片来讲解B树搜索。让我们尝试找到数据60。
这里看一下这张图片中B树的结构，每一个节点中的内容存储在一个磁盘块中。每个节点中：
- 蓝色代表的是数据字段。
- 红色代表的是该数据的存储地址。
- 黄色则代表指针。
数据，指针，数据的存储地址构成了B树的节点，共同存放于磁盘块中。
接下来解释搜索数据60的过程：
- 从根节点开始，读取根节点信息，根节点有2个关键字：17和35。因为 35 < 60，所以找到指针P3指向的子树，也就是磁盘块4（1次I/0操作）
- 读取当前节点信息，当前节点有2个关键字：65和87。60 < 65，找到指针P1指向的子树，也就是磁盘块9（2次I/0操作）
- 读取当前节点信息，当前节点有2个关键字：36和60。检索得到数据60.（3次I/0操作）
由上面的过程可见，同样的操作，如果使用平衡二叉树，那么需要至少4次I/O操作，B树比之二叉树的这种优势，还会随着节点数的增加而增加。另外，因为B树节点中的关键字都是排序好的，所以，在节点中的信息被读入内存之后，可以采用二分查找这种快速的查找方式，更进一步减少了读入内存之后的计算时间，由此更能说明对于外存数据结构来说，I/O次数是其查找信息中最大的时间消耗，而我们要做的所有努力就是尽量在搜索过程中减少I/O操作的次数。
B+树
B+树定义
B+树是B树的变形，是和B树一样常被用于数据库索引的数据结构。设 * m * 为B+树的阶数，符合以下条件：
- 每个节点最多有 m 个数据，最少有 m/2 个数据，其中每个关键字对应一个子树。
- 根节点至少有2棵子树
- 所有的叶子节点包含了全部的数据以及这些数据指向文件的指针，并且所有叶子节点中的关键字按大小顺序排列
- 所有的叶子节点中相邻的叶子节点顺序链接
- 所有的叶子节点同一层
- 所有分支节点的数据都是对应子树中关键字的最大值
B+树如图：
B+树与B树结构上的区别
- B+树节点中数据的数量和指针的数量是相同的，B树的指针数量总是比数据数量多1.
- B+树所有的数据均存在叶子节点中，内部节点只是索引作用
- 当在搜索过程中在内部节点找到目标数据，搜索过程不停止，将会继续向下搜索到叶子节点中的目标数据
B+树的优势
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B+树磁盘读写代价更低
B+树节点中没有指向关键字具体信息的指针，因此相较于B树节点较小，相同的磁盘块能容纳的数据更多，一次性读入内存的数据更多，磁盘IO读写次数也就更少。 -
B+树的查询效率更稳定
由于内部结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。 -
B+树更有利于对数据库的扫描
B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题，而B+树只需要遍历叶子节点就可以解决对全部关键字信息的扫描，所以对于数据库中频繁使用的range query，B+树有着更高的性能。
红黑树
待续